Summe von drei Kubikzahlen

Die Summe von drei Kubikzahlen bezeichnet ein ungelöstes Problem der Zahlentheorie, welches wie folgt lautet:

Lässt sich eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ als Summe dreier Kubikzahlen darstellen?  Wenn ja, auf wie viele verschiedene Weisen? 

Zum Beispiel lässt sich die Zahl ${\displaystyle 10}$ u. a. als die Summe der drei Kubikzahlen ${\displaystyle 1^{3}=1}$, ${\displaystyle \,1^{3}=1}$ und ${\displaystyle 2^{3}=8}$ darstellen↓. Für die Zahl ${\displaystyle 13}$ existiert dagegen nachweislich keine solche Zerlegung↓. Ist ${\displaystyle n}$ eine beliebige ganze Zahl, so geht es um die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$.

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ${\displaystyle n}$ ist ein seit 200 Jahren (1825) ungelöstes Problem der Zahlentheorie.^[1][2] Seit mehr als 70 Jahren sind durch Einsatz von Computern und Brute-Force-Suche viele einzelne Lösungen (bis in den Bereich von 10²⁰) gefunden worden, eine grundlegend analytische Lösung steht aber weiterhin aus.

Es geht um die Lösung der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle n,\ x,\ y,\ z\in \mathbb {Z} }$. Für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ ist bekannt und beweisbar, dass es keine Lösungen geben kann, für ${\displaystyle n=9k\pm 0\ldots 3}$ wird zwar vermutet, dass es immer (sogar unendlich viele) Lösungen gibt. Hierbei handelt es sich allerdings um eine unbewiesene Vermutung. Lösungen werden heutzutage im Wesentlichen mittels Computer per Brute Force bestimmt. Die Anzahl der bekannten Lösungen variiert hierbei erheblich, für z. B. ${\displaystyle n=0,\ n=1,\ n=2,\ n=k^{3}}$ und ${\displaystyle n=2k^{3}}$ kann man sehr einfach unendlich viele Lösungen konstruieren, für ${\displaystyle n=3}$ sind drei Lösungen↓ bekannt und für ${\displaystyle n=114}$↓ wird vermutet, dass es (unendlich viele) Lösungen gibt, es ist aber aktuell keine Lösung bekannt.

Lösungen werden betreffs folgender Kriterien klassifiziert:

• trivial, falls einer der Koeffizienten ${\displaystyle =0}$.
• nicht-primitiv, falls durch Erweiterung mit einer Kubikzahl aus einer kleineren Lösung entstanden
• Weiterhin gibt es für Kubikzahlen ${\displaystyle n=k^{3}}$unendlich viele Lösungen ${\displaystyle (-a,+a,k)}$ mittels ${\displaystyle n=(-a)^{3}+(+a)^{3}+k^{3}}$ für beliebige ${\displaystyle a}$. Für ${\displaystyle n=0}$ sind das alle Lösungen, für ${\displaystyle n\neq 0}$ gibt es weitere Lösungen.

Die folgende Tabelle enthält die Anzahl der Lösungen bis ${\displaystyle 2^{26}}$, die sich nicht mittels der dritten Methode konstruieren lassen bzw. die ungefähre Größe der kleinsten bekannten Lösung.

n	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17
000	keine	385	225	2	keine Lösungen		6	7	543	3	5	7	2	keine Lösungen		6	180	9
018	13	8	15	8			2	5	6	555	12	14	≈109			≈1016	15	14
036	11	5	3	1			≈1017	17	5	8	7	8	8			3	≈1011	11
054	162	18	15	15			4	3	17	13	719	8	3			7	10	22
072	5	12	≈1014	≈109			2	5	9	8	5	23	2			1	14	7
090	32	16	19	3			3	19	7	29	4	6	1			1	8	6
108	6	17	≈1010	5			???	6	8	4	24	9	11			2	4	528

Lösungen für ${\displaystyle |x|,\ |y|,\ |z|\gg {\sqrt[{3}]{n}}}$ haben eine der beiden Formen

${\displaystyle n=(+|x|)^{3}+(+|y|)^{3}+(-|z|)^{3}\quad }$ oder

${\displaystyle n=(-|x|)^{3}+(-|y|)^{3}+(+|z|)^{3}}$,

d. h. die beiden kleineren Terme haben das gleiche Vorzeichen und der größere Term das entgegengesetzte Vorzeichen. Die anderen sechs Fälle treten nur für sehr kleine ${\displaystyle |x|,\ |y|,\ |z|}$ auf, wie z. B.

${\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+1^{3}}$.

• Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für ${\displaystyle n}$ die folgende:

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für ${\displaystyle n}$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ für alle ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.^[3]

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle n}$, wie zum Beispiel die folgenden:^[4]

Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ gelten die folgenden Bedingungen für ${\displaystyle x}$:

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,+1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv +1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv -1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}}$.

1825

S. Ryley, ein Schullehrer aus Leeds, beschäftigt sich mit dem Thema und findet eine generische Lösung für rationale Zahlen.

1908

A. S. Verebrusov findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für ${\displaystyle n=2}$.

1936

Kurt Mahler findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für ${\displaystyle n=1}$.

1942 und 1953

Louis Joel Mordell beschäftigt sich mit dem Thema. Die Ergebnisse findet man in seinem Buch „Diophantine Equations (1969)“^[5]

1954

Miller und Woollet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 100}$ per Brute-Force-Suche aller Kombinationen ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 3164}$.^[1][6]

Die Berechnungen wurden auf einer Electronic Delay Storage Automatic Calculator in Cambridge durchgeführt.^[7][8]

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen ${\displaystyle 30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84}$ und ${\displaystyle 87}$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 70=}$	${\displaystyle 11^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 20^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-21)^{3}}$
${\displaystyle 96=}$	${\displaystyle 14^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 20^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-22)^{3}}$
${\displaystyle 79=}$	${\displaystyle (-19)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-33)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 35^{3}\ \ }$
${\displaystyle 78=}$	${\displaystyle 26^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 53^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-55)^{3}}$
${\displaystyle 51=}$	${\displaystyle 602^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 659^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-796)^{3}}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weitere Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 1000}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq 2^{16}}$ und ${\displaystyle 0\leq z-x\leq 2^{16}}$.^[1]

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ fanden sie folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 87=(-1.972)^{3}+(-4.126)^{3}+\;4.271^{3}}$

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 978=}$	${\displaystyle 8.666^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 40.169^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-40.303)^{3}}$
${\displaystyle 402=}$	${\displaystyle 37.685^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 41.378^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-49.915)^{3}}$
${\displaystyle 583=}$	${\displaystyle (-17.419)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-48.223)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 48.969^{3}\ \ }$
${\displaystyle 227=}$	${\displaystyle 24.579^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 51.748^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-53.534)^{3}}$
${\displaystyle 971=}$	${\displaystyle 7.423^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 55.643^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-55.687)^{3}}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 39=\;117.367^{3}+\;134.476^{3}+(-159.380)^{3}}$

1994

Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 84=(-8.241.191)^{3}+(-41.531.726)^{3}+\;41.639.611^{3}}$

1999

Durch Finden weiterer drei Lösungen waren für ${\displaystyle n\leq 100}$ bereits für 75 verschiedene ${\displaystyle n}$ Lösungen bekannt. Die neuen Lösungen waren:

${\displaystyle 75=}$	${\displaystyle 4.381.159^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 435.203.083^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-435.203.231)^{3}}$
${\displaystyle 30=}$	${\displaystyle (-283.059.965)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-2.218.888.517)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2.220.422.932^{3}\ \ }$
${\displaystyle 52=}$	${\displaystyle 23.961.292.454^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 60.702.901.317^{3}\;}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-61.922.712.865)^{3}}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für ${\displaystyle n=33,\ 42}$ und ${\displaystyle 74}$.

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.^[1]

2007

fehlten nur noch für folgende ${\displaystyle n}$ zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 1000}$ obige Lösungen:^[1]

${\displaystyle 33,\ 42,\ 74,\ \ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

26. April 2016

wurde das Problem für ${\displaystyle n=74}$ von Sander Huisman gelöst:^[9]

${\displaystyle 74=\;66.229.832.190.556^{3}+\;283.450.105.697.727^{3}+(-284.650.292.555.885)^{3}}$

28. April 2019

wurde das Problem für ${\displaystyle n=33}$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:^[10][11]

${\displaystyle 33=(-2.736.111.468.807.040)^{3}+(-8.778.405.442.862.239)^{3}+\;8.866.128.975.287.528^{3}}$

6. September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl ${\displaystyle n\leq 100}$, nämlich für ${\displaystyle n=42}$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:^[12][13]

${\displaystyle 42=\;12.602.123.297.335.631^{3}+\;80.435.758.145.817.515^{3}+(-80.538.738.812.075.974)^{3}}$

Da ${\displaystyle n=42}$ das letzte ungelöste Problem bis ${\displaystyle n\leq 100}$ für diese Art von Gleichung war und das Ergebnis „42“ schon vorher feststand, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.^[14]

Die Suche findet dabei auf bis zu einer halben Million Rechnern von Freiwilligen statt.^[15]

24. Oktober 2019

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

${\displaystyle 165=}$	${\displaystyle \;98.422.560.467.622.814^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \;383.344.975.542.639.445^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-385.495.523.231.271.884)^{3}}$
${\displaystyle 795=}$	${\displaystyle \;2.337.348.783.323.923^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \;14.197.965.759.741.571^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-14.219.049.725.358.227)^{3}}$
${\displaystyle 906=}$	${\displaystyle \;35.961.979.615.356.503^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \;72.054.089.679.353.378^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-74.924.259.395.610.397)^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen war somit nur noch für die folgenden acht Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt:^[12]

${\displaystyle 114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

5. Januar 2021

wurde, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, ein weiterer Fall gelöst:

${\displaystyle 759=(-6.941.531.883.806.363.291)^{3}+(-143.070.303.856.622.169.975)^{3}+\;143.075.750.505.019.222.645^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden sieben Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt (Stand: 5. Januar 2021):^[12]

${\displaystyle 114,\ 390,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

Momentan ist also die Gleichung ${\displaystyle 114=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Lösungen, in denen (mindestens) eine der Zahlen ${\displaystyle x,\ y,\ z=0}$ ist, nennen man triviale Lösungen. Sind alle ungleich 0, nennt man sie nicht-triviale Lösungen.
Lösungen, in denen ${\displaystyle x,\ y,\ z}$ teilerfremd sind, nennt man primitive Lösungen, andernfalls nicht-primitive Lösungen.

Die einfachste triviale Darstellung für ${\displaystyle n=0}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 0=0^{3}+0^{3}+0^{3}}$.

Weitere triviale Lösungen lauten:

${\displaystyle 0=0^{3}+(-a)^{3}+\;a^{3}}$  mit  ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$.

Nichttriviale Lösungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle 0=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle x,y,z\not =0}$ . Genau eine oder zwei der Variablen ${\displaystyle x,y,z}$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass ${\displaystyle x>0,y>0,z<0}$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung ${\displaystyle -x,-y,-z}$). Bringt man ${\displaystyle z^{3}}$ auf die rechte Seite, erhält man mit ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=-z^{3}}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z'^{3}}$ mit ${\displaystyle z'=-z>0}$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ für positive ganze Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {N} }$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}$ geben kann.  ∎ 

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=1}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 1=0^{3}+0^{3}+1^{3}}$.

Neben dieser existieren aber auch weitere Lösungen (350 Stück bis 50·10⁶), wie z. B.:

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}\qquad }$ (kleinste Lösung, die nicht trivial und nicht einfach konstruierbar ist)

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle 1=11980^{3}+\;131769^{3}+(-131802)^{3}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle 1=995329^{3}+\;47775744^{3}+(-47775888)^{3}}$

Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Lösungen. Die einfachste lautet:

${\displaystyle 1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:^[1]

${\displaystyle 1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ \ =\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}+\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}=1}$

wie auch folgende:^[1]

${\displaystyle 1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Für ${\displaystyle n=1}$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien^[16]. Neben

${\displaystyle (x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})}$,

${\displaystyle (x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})}$

lassen sich für jedes einzelne ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$ unendlich viele weitere Tripel ${\displaystyle (x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})}$ mit ${\displaystyle k\geq 2}$ rekursiv mittels

${\displaystyle x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}}$,

${\displaystyle y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}}$ und

${\displaystyle z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4}$

konstruieren.^[16] Für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle 1}$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für ${\displaystyle k=2}$ die kompliziertere.

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=2}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 2=0^{3}+1^{3}+1^{3}}$,

die ersten nicht-triviale

${\displaystyle 2=(-5)^{3}+(-6)^{3}+\;7^{3}}$.

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet^[1]

${\displaystyle 2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Weitere bekannte Lösungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

${\displaystyle 2=}$	${\displaystyle 1.214.928^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3.480.205^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-3.528.875)^{3}}$
${\displaystyle 2=}$	${\displaystyle (-25.282.289.375)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-33.071.554.596)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 37.404.275.617^{3}\ \ }$
${\displaystyle 2=}$	${\displaystyle 1.490.220.318.001^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3.737.830.626.090^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-3.815.176.160.999)^{3}}$

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Lösungen für ${\displaystyle n=3}$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

${\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+\quad 1^{3}}$  und

${\displaystyle 3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}}$

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:^[17]

${\displaystyle 3=(-472.715.493.453.327.032)^{3}+(-569.936.821.113.563.493.509)^{3}+\;569.936.821.221.962.380.720^{3}}$

Damit konnte schließlich eine 1953 von L. Mordell gestellte Frage nach 66 Jahren (47 Jahre nach seinem Tod) beantwortet werden:

Are there any solutions for  n = 3  other than permutations of  (1, 1, 1)  and  (4, 4, −5) ?

Allerdings steht nach Kenntnis dieser drei Lösungen die Frage

Gibt es mehr als diese drei Lösungen ?

im Raum, denn es ist weiterhin unbekannt, ob es nun drei, vier, zweiundvierzig, endlich viele oder unendlich viele Lösungen für ${\displaystyle n=3}$ gibt oder ob die Frage im Sinne von Gödel nicht entscheidbar ist.

Für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle 5}$ gibt es keine Lösungen. Da eine Kubikzahl ${\displaystyle x^{3}}$ modulo ${\displaystyle 9}$ stets in der Menge ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ liegt, kann die Summe dreier Kubikzahlen ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\mod 9}$ nur Werte zwischen ${\displaystyle -3}$ und ${\displaystyle 3}$ annehmen. Das bedeutet, dass eine Zahl der Form ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ für ${\displaystyle k=0,1,\dots }$ nicht als Summe dreier Kubikzahlen dargestellt werden kann. Dies betrifft insbesondere die Zahlen ${\displaystyle 4}$ und ${\displaystyle 5}$.

Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 6=}$	${\displaystyle (-1)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-1)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2^{3}}$
${\displaystyle 6=}$	${\displaystyle (-43)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-58)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 65^{3}}$
${\displaystyle 6=}$	${\displaystyle (-55)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-235)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 236^{3}}$
${\displaystyle 6=}$	${\displaystyle (-205)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-637)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 644^{3}}$

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 7=}$	${\displaystyle 0^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-1)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2^{3}\ \ }$
${\displaystyle 7=}$	${\displaystyle 32^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 104^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-105)^{3}}$
${\displaystyle 7=}$	${\displaystyle 44^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 168^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-169)^{3}}$

Für Kubikzahlen ${\displaystyle n=k^{3}}$ lassen sich unendlich viele sehr einfache, aber nicht triviale Lösungen konstruieren:

${\displaystyle n=k^{3}+(-a)^{3}+a^{3}\qquad }$ mit beliebigen ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Es gibt mehrere Lösungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle 1^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2^{3}\ \ }$
${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle (-3)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-3)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 4^{3}\ \ }$
${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle 130^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 141^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-171)^{3}}$
${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle (-353)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-650)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 683^{3}\ \ }$

Diese sind auf heutigen Computern schnell gefunden. Erst mit größerem Abstand findet man:

${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle (-125.509)^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-294.038)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 301.471^{3}}$
${\displaystyle 10=}$	${\displaystyle (-26.780.787)^{3}\ \ }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-298.124.987)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 298.197.006^{3}}$

Für ${\displaystyle n=13}$ und ${\displaystyle 14}$ gibt es keine Lösungen. Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Für ${\displaystyle n=114}$ ist aktuell keine Lösung bekannt. Sie ist aktuell die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Man vermutet aber, dass es mit hoher Wahrscheinlichkeit (mindestens) eine Lösung gibt, dass diese aber so groß ist, dass man sie bisher mit Brute-Force noch nicht gefunden hat. Es gibt weder einen Beweis, dass eine Lösung existieren muss noch dass sie nicht existieren kann.

${\displaystyle n=327}$ weist erst für große Zahlen Lösungen auf, die aber dann vergleichsweise eng beieinander liegen. Auch das ist möglich.

${\displaystyle 327=}$	${\displaystyle (-55.495.503.315.494)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-170.547.806.910.404)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 172.484.397.062.815^{3}}$
${\displaystyle 327=}$	${\displaystyle (-23.497.102.374.545)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-608.821.354.548.722)^{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 608.833.020.860.980^{3}}$

Lässt sich ${\displaystyle n}$ als Produkt einer Kubikzahl ${\displaystyle k^{3}}$ und einer Zahl ${\displaystyle m}$ darstellen, erbt diese Zahl ${\displaystyle n}$ alle Lösungen der Zahl ${\displaystyle m}$ auf folgende Weise:

${\displaystyle m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}}$

Beispiel

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+\;18^{3}}$

Man nennt diese Lösungen nicht-primitive Lösungen. Ein Gegenbeispiel ist ${\displaystyle 8=15^{3}+33^{3}+(-34)^{3}}$ als primitiv nicht-triviale Lösung.

Folgende Tabelle enthält für ${\displaystyle 0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ die jeweils kleinsten (in Klammern, kursiv und in blau, wenn existent und abweichend, die kleinsten nichttrivialen) Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$: ^{[18][19][9][20][21][22]}

Für ${\displaystyle \,x,y,z\in \mathbb {Q} }$ existieren für ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} }$ unendlich viele Lösungen. Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n>0}$ und einen frei wählbaren Parameter ${\displaystyle b=\mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

${\displaystyle x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ergibt nach längerer Rechnung und finalem Kürzen unabhängig von ${\displaystyle b}$ (solange ${\displaystyle \neq 0}$) genau den Wert von ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}=&\;{\frac {{\big (}(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}{\big )}^{3}+{\big (}(30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4})(3b^{3}+n^{2}){\big )}^{3}+{\big (}6bn\ (18nb^{5}-6n^{3}b^{2}){\big )}^{3}}{{\big (}6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}{\big )}^{3}}}\\[1ex]=&\;{\text{ ... sehr viel Rechenaufwand und Möglichkeiten des sich Verrechnens bei Bewunderung an den Autor dieser Formel ...}}\\[1ex]=&\;{\frac {157464\ b^{21}n^{4}+314928\ b^{18}n^{6}+262440\ b^{15}n^{8}+116640\ b^{12}n^{10}+29160\ b^{9}n^{12}+3888\ b^{6}n^{14}+216\ b^{3}n^{16}}{157464\ b^{21}n^{3}+314928\ b^{18}n^{5}+262440\ b^{15}n^{7}+116640\ b^{12}n^{9\;}+29160\ b^{9}n^{11}+3888\ b^{6}n^{13}+216\ b^{3}n^{15}}}\\[1ex]=&\;n\\\end{aligned}}}$

Sobald eine der Basen ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar. Für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ z. B.:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\quad \longrightarrow \quad x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}}$,   ${\displaystyle n}$ gegeben; ${\displaystyle \ y,z}$ beliebig wählbar

Jede ganze Zahl kann als Summe von fünf Kubikzahlen geschrieben werden.

Beweis

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllllll}6k+0&=&(k+1)^{3}&+&(k-1)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(-k)^{3}&+&\;\;\ (0)^{3}\\6k+1&=&(k+1)^{3}&+&(k-1)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(-k)^{3}&+&\;\;\ (1)^{3}\\6k+2&=&(k)^{3}&+&(k-2)^{3}&+&(-k+1)^{3}&+&(-k+1)^{3}&+&\;\;\ (2)^{3}\\6k+3&=&(k-3)^{3}&+&(k-5)^{3}&+&(-k+4)^{3}&+&(-k+4)^{3}&+&\;\;\ (3)^{3}\\6k+4&=&(k+3)^{3}&+&(k+1)^{3}&+&(-k-2)^{3}&+&(-k-2)^{3}&+&(-2)^{3}\\6k+5&=&(k+2)^{3}&+&(k)^{3}&+&(-k-1)^{3}&+&(-k-1)^{3}&+&(-1)^{3}\\\end{array}}}$ ^[23]

Da jede Zahl als ${\displaystyle 6k+0\ldots 5}$ geschrieben werden kann, folgt daraus der Satz.  ∎ 

Ähnlich offen wie das Problem der Summe von drei Kubikzahlen ist (wider Erwarten) das von vier Kubikzahlen. Bisher konnten nur Konstruktionsvorschriften für Zahlen der Form ${\displaystyle n=9k\pm 0\ldots 3}$ gefunden werden, aber nicht für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$. Die Vermutung konnte bisher weder widerlegt noch bewiesen werden.^[24]

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019. 
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
• Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019. 
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019. 
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019. 
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019. 

1. ↑ ^{a b c d e f g h} Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 18. September 2019. 
2. ↑ Das Problem wurde seit genau 1825 genauer betrachtet, was Ende der 1980er Jahre „mehr als 160 Jahre“ waren. Seitdem wird diese Zahl von Dokument zu Dokument als durch Quellen belegte Konstante abgeschrieben. In gedruckten Publikationen wird daher normalerweise vermieden, relative Zeitangaben zu verwenden, da auf Papier gedruckter Text nicht weiß, in welchem Jahr es gelesen wird.
3. ↑ D. R. Heath-Brown: The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails. Band 59, Nr. 200. mathematics of computation, Oktober 1992, S. 613–623 (ams.org [PDF]). 
4. ↑ Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n, Property 1 und 2. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 843–844, abgerufen am 28. September 2019. 
5. ↑ Für Studenten des Freistaates Thüringen Online verfügbar
6. ↑ Weitere Quelle, alle gefundenen als Pixelgrafiken gescannten Quellen enthalten 3164 als Grenze.
7. ↑ L. J. Mordell, On the integer solutions of the equation x² + y² + z² + 2xyz = n, J. London Math. Soc. 28 (1953)
8. ↑ On a question of Mordell, Andrew R. Booker and Andrew V. Sutherland
9. ↑ ^{a b} Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
10. ↑ Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33. University of Bristol, 2019, S. 1–6, abgerufen am 18. September 2019. 
11. ↑ Lance Fortnow, Bill Gasarch: x³ + y³ + z³ = 33 has a solution in Z. And its big! Computational Complexity.org, 28. April 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
12. ↑ ^{a b c} Robin Houston: 42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” The Aperiodical, 6. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
13. ↑ Michelle Starr: Mathematicians Solve '42' Problem With Planetary Supercomputer. science alert, 9. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
14. ↑ Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42
15. ↑ On a question of Mordell, Andrew R. Booker, Andrew V. Sutherland
16. ↑ ^{a b} Eric S. Rowland: Known families of integer solutions of x^3+y^3+z^3=n. (psu.edu [PDF]). 
17. ↑ Mark McAndrew: Insanely huge Sum-Of-Three-Cubes for 3 discovered – After 66 year search. Twitter, 16. September 2018, abgerufen am 18. September 2019. 
18. ↑ Hisanori Mishima: Solutions of n=x³+y³+z³, 0 <= n <= 99. Abgerufen am 18. September 2019. 
19. ↑ Tito Piezas III: Integer solutions to the equation a³+b³+c³=30. Abgerufen am 18. September 2019. 
20. ↑ W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
21. ↑ Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³ (archivierte Matlab-Datei). Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
22. ↑ D. J. Bernstein: threecubes. Abgerufen am 29. September 2019 (weitere Lösungen). 
23. ↑ Gleichung analytisch wie numerisch verifiziert.
24. ↑ Sur les sommes de quatre cubes