MKL1888:Prismatoïd

[394] Prismatoïd (griech., „einem Prisma ähnlich“), von Wittstein vorgeschlagener Name für einen Körper, den August früher Trapezoidalkörper genannt hat. Unter seinen Begrenzungsflächen befinden sich zwei Polygone, die beiden Grundflächen, welche

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 1 u. 2. Prismatoide.

in parallelen Ebenen liegen, u. deren Seiten paarweise parallel gehen, ohne daß aber diese Polygone ähnlich sind. In Fig. 1 sind die beiden Fünfecke ABCDE und A′B′C′D′E′ die Grundflächen, und es ist AB parallel A′B′, BC parallel B′C′ etc. Die Seitenflächen sind hiernach Trapeze. Es ist aber auch möglich, daß in einer der Grundflächen diejenige Seite, welche einer gewissen Seite der andern Grundfläche entspricht, ganz fehlt (gleich Null ist), wie in Fig. 2, wo der Seite AB der untern Grundfläche nur ein Punkt A′ in der obern entspricht; die entsprechende Seitenfläche ist dann kein Trapez, sondern ein Dreieck ABA′. Sind die beiden Grundflächen einander ähnlich, kommt also zum Parallelismus der Seiten noch die Gleichheit der Verhältnisse zwischen den Seiten, so schneiden sich bei gehöriger Verlängerung die Kanten AA′, BB′, CC′ etc. (Fig. 1) in einem Punkte; das P. ist dann eine abgestumpfte Pyramide (s. Pyramide). Da zwei Dreiecke, deren Seiten paarweise parallel gehen, immer ähnlich sind, so ist ein dreiseitiges P. stets eine abgestumpfte Pyramide. Sind die Grundflächen Rechtecke, so nennt man das P. ein Ponton. Denkt man sich in zwei parallelen Ebenen ein Paar Polygone, beispielsweise ein Paar Fünfecke, wie in Fig. 1, deren entsprechende Seiten aber nicht parallel gehen, verbindet dann die entsprechenden Punkte A und A′, B und B′ etc. durch Gerade, so hat man das Kantensystem eines Prismoids. Auch hier kann einer Seite des einen Polygons ein Punkt im andern entsprechen. Die Seitenflächen dieses Körpers sind im allgemeinen windschiefe Vierecke, welche man sich auf die Weise erzeugt denken kann, daß man eine gerade Linie beispielsweise aus der Lage AB (Fig. 1) allmählich in die Lage A′B′ überführt, wobei dieselbe beständig an den beiden Kanten AA′ und BB′ hingleitet und zu den beiden Grundflächen parallel bleibt. Die Berechnung des Inhalts erfolgt beim P. und Prismoid nach derselben Regel: man addiert die beiden Grundflächen g und G, addiert zur Summe den vierfachen Inhalt G′ desjenigen Querschnitts des Körpers, der gerade in der Mitte zwischen beiden Grundflächen, parallel zu ihnen, liegt, und multipliziert darauf mit dem sechsten Teil der Höhe, d. h. des senkrechten Abstandes der Grundflächen. Vgl. Wittstein, Das P. (Hannov. 1860).