Schwere, Elektricität und Magnetismus:070

Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen ${\displaystyle \varepsilon \,}$ das unendlich kleine ${\displaystyle \nu \,}$ so wählen, dass ${\displaystyle \lim {\frac {\varepsilon }{\nu }}=0}$ ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen ${\displaystyle \nu \,}$ und ${\displaystyle S\,}$ ist demnach für ein unendlich kleines ${\displaystyle s\,}$

${\displaystyle \lim {\frac {a-x}{r}}=0,}$

gleichgültig, ob ${\displaystyle x=0\,}$ oder ${\displaystyle =\pm \varepsilon \,}$ ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes ${\displaystyle \nu \,}$. Wir gehen über zu dem Integral

(7)	${\displaystyle \int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.}$

Da ${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=0}$ ist für ${\displaystyle s=0\,}$, so kann man im allgemeinen setzen

${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=\mu s^{\lambda },}$

wobei ${\displaystyle \lambda \,}$ eine positive Constante und ${\displaystyle \mu \,}$ eine Function von ${\displaystyle s\,}$ und ${\displaystyle \varphi \,}$ bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=\int \limits _{0}^{\nu }\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}s^{\lambda -1}ds.}$

${\displaystyle {\frac {s}{r}}}$ ist ein echter Bruch, der sich für ${\displaystyle x=0\,}$ und ${\displaystyle \lim s=0\,}$ dem Grenzwerthe ${\displaystyle +1\,}$ annähert. Also ist ${\displaystyle \mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei ${\displaystyle M\,}$.

 Dann haben wir

${\displaystyle M{\frac {\nu ^{\lambda }}{\lambda }}>\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,}$

und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von ${\displaystyle \nu \,}$ der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines ${\displaystyle \nu \,}$ davon unabhängig, ob ${\displaystyle x=0\,}$ oder gleich ${\displaystyle =\pm \varepsilon }$ genommen wird.

 Das Integral

(8)	${\displaystyle \int \limits _{\nu }^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds}$

hat für ein endliches ${\displaystyle \nu \,}$ einen bestimmten, endlichen Werth, der