Schwere, Elektricität und Magnetismus:073

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 59
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Die anziehende Masse ist über eine unendliche gerade Linie vertheilt.

\int {\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}

lässt sich ausführen. Man erhält

\lg \lbrace a-x+{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}\rbrace +C,

und daher ergibt sich

(2)	$\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}=\lg {\frac {(k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{-(k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}}.$

Auf demselben Wege berechnet man

\int \left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da

$=\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{a^{2}}}}}\right\rbrace +C,$

folglich

(3)	$\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da$

=\lg 2-\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace

$=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .$

Endlich gelangt man durch einfache Umformungen zu der Gleichung

(4)	$\int \limits _{-\infty }^{-k}\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}+{\frac {1}{a}}\right)\,da$

{\begin{aligned}&=\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)da\\&=\lg 2-\lg \left\lbrace 1+{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1+{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace \\&=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .\\\end{aligned}}

Aus (2), (3), (4) setzt sich das Integral auf der rechten Seite von (1) durch Addition zusammen. Das Resultat lautet:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right)=2\,\lg \,2\,k-\lg(y^{2}+z^{2}).