Schwere, Elektricität und Magnetismus:089

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 75
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Herstellung von

V\,

im Inneren eines Raumes.

-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.

Da der Raum $T\,$ völlig begrenzt ist, also seine Begrenzung ganz im endlichen Gebiete liegt, so hat dieses Integral, über den Raum $T_{1}\,$ , erstreckt, einen bestimmten, endlichen Werth. Dies gilt noch selbst für $\lim c=0\,$ . Denn innerhalb der Kugel vom Radius $c\,$ kann man als Raumelement einführen

r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi ,

und da $U\,$ nur die erste Potenz von $r\,$ im Nenner hat, so verschwinden die Beiträge, welche für $\lim c=0\,$ zu dem Raum-Integral hinzukommen. Man hat dasselbe also für diesen Grenzfall über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, und es behält einen bestimmten, endlichen Werth.

Das Oberflächen-Integral in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen ist aus zwei Bestandtheilen zusammengesetzt. Der erste rührt von der Oberfläche des Raumes $T\,$ her und reducirt sich auf

\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .

Der andere ist das über die Umhüllung des Punktes $(x',\,y',\,z')$ ausgedehnte Integral. Hier fällt die nach dem Innern von $T_{1}\,$ gezogene Normale mit der Richtung der wachsenden $r\,$ zusammen. Der zweite Bestandtheil des Oberflächen-Integrals lautet also

\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial r}}-U{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}c^{2}\,d\omega ,

wenn mit $d\omega \,$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Dieses letzte Integral lässt sich nun auch so schreiben

c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega

$+c^{2}\int \left\lbrack V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right\rbrack _{r=c}d\omega$

$=c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$

$-\int V\,d\omega -c\int \left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega .$