Schwere, Elektricität und Magnetismus:107

fernten Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ der Quotient ${\displaystyle {\frac {x}{a^{2}+s}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen^[1] nicht unendlich gross. Der Factor ${\displaystyle {\frac {1}{D}}}$ ist Null und die Integrationsgrenzen fallen zusammen. Folglich ist ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=0}$ in unendlicher Entfernung.

 Die Ausdrücke ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ finden sich, wenn man in (4) und in (5) ${\displaystyle y\,}$ und ${\displaystyle b\,}$, resp. ${\displaystyle z\,}$ und ${\displaystyle c\,}$ vertauscht mit ${\displaystyle x\,}$ und ${\displaystyle a\,}$. Daher sind auch ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ überall endlich und stetig variabel und in unendlicher Entfernung gleich Null.

 Aus (4) ergibt sich durch nochmalige Differentiation

(6)	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}.}$

Dies gilt für einen Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ im Innern des Ellipsoids. Aus (5) erhält man dagegen

(7)	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}+{\frac {2\pi \rho x}{\Delta \left(a^{2}+\sigma \right)}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}.}$

Dies gilt für einen Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ ausserhalb des Ellipsoids. Beide Ausdrücke sind endlich und ändern sich stetig, wenn nur der Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ im einen Falle innerhalb, im andern Falle ausserhalb des Ellipsoids bleibt. Lässt man ihn von der einen und von anderen Seite in die Oberfläche hineinrücken, so geben die Ausdrücke (6) und (7) verschiedene Werthe. Nur für ${\displaystyle x=0\,}$ sind sie einander gleich.

 Die Ausdrücke ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}}$ ergeben sich aus (6) und (7) durch Buchstaben-Vertauschung. Wir bilden die Summe der zweiten Derivirten und erhalten fur einen inneren Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left({\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}}\right).}$

Es findet sich aber

${\displaystyle {\frac {d\lg \left(D^{2}\right)}{ds}}={\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}},}$

folglich ist