Schwere, Elektricität und Magnetismus:119

(7)

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\rho xz}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {(s+\beta ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}}$

In (6) und (7) ist ${\displaystyle \varepsilon =+1\,}$ für ${\displaystyle x>0\;}$ und ${\displaystyle \varepsilon =-1\,}$ für ${\displaystyle x<0.\,}$.

 Um die Ausdrücke (5), (6), (7) zu verificiren, ist es nothwendig, zunächst zu beweisen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:

(8)	${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}},}$ ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}},}$ ${\displaystyle {\frac {\partial Z}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial z}}.}$

 Es muss ferner bewiesen werden, dass ausserhalb des mit Masse erfüllten Cylinders, also für ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1,}$ die Gleichung erfüllt ist:

(9)	${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0;}$

dagegen im Innern jenes Cylinders, d. h. für ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1,}$ die andere Gleichung:

(10)	${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\varepsilon \pi \rho ,}$

wenn ${\displaystyle \varepsilon =+1\,}$ für ${\displaystyle x>0\,}$ und ${\displaystyle \varepsilon =-1\,}$ für ${\displaystyle x<0.\,}$

 Es muss endlich gezeigt werden, dass in unendlicher Entfernung von dem mit Masse erfüllten Cylinder, d. h. für ${\displaystyle \lim \left(y^{2}+z^{2}\right)=\infty :\,}$

(11)	${\displaystyle X=0,\quad Y=0,\quad Z=0.\,}$

Wir wollen noch bemerken, dass nach der Natur der Aufgabe

(12)	${\displaystyle \left.{\begin{matrix}{Y=0}\\{Z=0}\end{matrix}}\right\}}$ für ${\displaystyle x=0.\,}$

Denn zu irgend einem Massenelemente auf der Seite der positiven ${\displaystyle x\,}$ lässt sich ein zugehöriges Massenelement auf der Seite der