Schwere, Elektricität und Magnetismus:123

(18)	${\displaystyle Z=-{\frac {2\,\rho \,x\,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Psi (y,\,z).}$

Durch Integration nach Theilen erhalten wir dafür

(19)

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}+\Psi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,z}{1-{\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}}}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}}$

und es ist auch hier wieder ${\displaystyle \varepsilon =+1\,}$ für ${\displaystyle x>0\,}$ und ${\displaystyle \varepsilon =-1\,}$ für ${\displaystyle x<0\,}$. Indem wir jetzt in (5) partiell nach ${\displaystyle z\,}$, in (19) partiell nach ${\displaystyle x\,}$ differenziren und die Resultate vergleichen, finden wir, dass auch die letzte der Gleichungen (8) erfüllt ist.

 Die Function ${\displaystyle \Psi (y,\,z)\,}$ wird auf demselben Wege bestimmt wie vorher die Function ${\displaystyle \Phi (y,\,z)\,}$. Man gelangt zu dem Resultate, dass

(20)	${\displaystyle \Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}$

genommen werden muss, damit die zweite der Gleichungen (12) erfüllt werde.

 Nun bleibt von den Gleichungen (8) noch die zweite zu beweisen.

 Aus der Gleichung (15) leiten wir her

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}},}$

und aus der Gleichung (19) geht hervor

${\displaystyle {\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}.}$