Schwere, Elektricität und Magnetismus:137

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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X\,

als Potentialfunction einer Ellipsenfläche.

Cylinders ausgebreitet wäre. Folglich ist $X\,$ die Potentialfunction der Ellipsenfläche

x=0,\quad {\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0,

über welche die Masse mit der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausgebreitet ist.

Wir wollen nun direct beweisen, dass der Ausdruck (5) des §. 26 allen den Bedingungen Genüge leistet, durch welche die Potentialfunction der eben genannten Ellipsenfläche eindeutig bestimmt ist. Es ist dies eine zweite Art, den Ausdruck für $X\,$ zu verificiren.

Es kömmt darauf an zu beweisen, dass

(1)	${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0$

im ganzen unendlichen Räume, dass

(2)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\pi \rho$

für jeden Punkt der anziehenden Fläche, und dass

(3)

X=0\,

ist, wenn eine der drei Coordinaten $x,y,z\,$ unendlich gross genommen wird.

Wir gehen aus von der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen, nemlich

(4)	$X=\rho \int {\frac {\sqrt {(t-x^{2}):s}}{\sqrt {s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}ds.$

Die Integration ist durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) zu erstrecken. Zur Abkürzung schreiben wir

{\frac {t-x^{2}}{s}}=m,

$s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)=D.$

Durch Differentiation findet sich

{\frac {\partial (m^{\frac {1}{2}})}{\partial x}}={\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial m}{\partial x}}

${\frac {\partial ^{2}(m^{\frac {1}{2}})}{\partial x^{2}}}=-{\frac {1}{4}}m^{-{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\partial m}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}.$