Schwere, Elektricität und Magnetismus:157

Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function ${\displaystyle U\!}$.

genügen im Innern von ${\displaystyle S_{1}\!}$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)

(2)	${\displaystyle \int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial n}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial n}}\right)d\sigma =0,}$

wenn das Integral über die Begrenzung von ${\displaystyle S_{1}\!}$ erstreckt wird und ${\displaystyle n\!}$ die in der Begrenzung nach dem Innern von ${\displaystyle S_{1}\!}$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von ${\displaystyle S_{1}\!}$ besteht aus der Oberfläche des Raumes ${\displaystyle S\!}$ und aus den beiden Kugelflächen um ${\displaystyle \varepsilon \!}$ und ${\displaystyle \varepsilon '.\!}$ In der Oberfläche von ${\displaystyle S\!}$ sind ${\displaystyle U_{\varepsilon }\!}$ und ${\displaystyle U_{\varepsilon '}\!}$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um ${\displaystyle \varepsilon \!}$ (Fig. 26) fällt die Richtung von ${\displaystyle n\!}$ mit der Richtung der wachsenden ${\displaystyle t\!}$ zusammen. Das Oberflächen-Element ${\displaystyle d\sigma \!}$ ist ${\displaystyle t^{2}d\omega \!}$, wenn mit ${\displaystyle d\omega \!}$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um ${\displaystyle \varepsilon \!}$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag

${\displaystyle \int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}\right)t^{2}d\omega .}$

Nun sind ${\displaystyle U_{\varepsilon '},\!}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}\!}$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr

${\displaystyle U_{\varepsilon }={\frac {1}{t}}+f.\;c.}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-{\frac {1}{t^{2}}}+f'.\;c.}$

Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes ${\displaystyle t\!}$

${\displaystyle \lim t^{2}U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}=0,}$ ${\displaystyle \lim t^{2}U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-U_{\varepsilon '}(\varepsilon ),}$

und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um ${\displaystyle \varepsilon \!}$ zu dem Integral (2) liefert, hat für ${\displaystyle \lim t=0\!}$ den Grenzwerth

${\displaystyle 4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).}$

 Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um ${\displaystyle \varepsilon \!}$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für ${\displaystyle \lim t=0\!}$ ist

${\displaystyle -4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).}$

Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also