Schwere, Elektricität und Magnetismus:167

links und rechts durch Addition und integriren nach ${\displaystyle t\!}$. Dadurch ergibt sich

(2)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m\left\{\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right\}}$

${\displaystyle ={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.}$

Wir bezeichnen mit ${\displaystyle s\!}$ die Länge der Bahn, welche der materielle Punkt bis zum Ablauf der Zeit ${\displaystyle t\!}$ durchlaufen hat, so dass ${\displaystyle s=0\!}$ ist für ${\displaystyle t=0\!}$. Dann haben wir ${\displaystyle \!ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$, und die Gleichung (2) geht über in

(3)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.}$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir auch ${\displaystyle s\!}$ als Integrations-Variable einführen und unter dem Integralzeichen schreiben

${\displaystyle \left(X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}\right)ds.}$

Hier sind ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}},\,{\frac {dy}{ds}},\,{\frac {dz}{ds}}}$ die Cosinus der Winkel, welche das Bahnelement ${\displaystyle ds\!}$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Bezeichnet man nun ferner mit ${\displaystyle \alpha \!}$, ${\displaystyle \beta \!}$, ${\displaystyle \gamma \!}$ die Winkel, welche die Richtung von ${\displaystyle K\!}$ mit den Richtungen der Componenten bildet, so findet sich

${\displaystyle X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&=K\,\left({\frac {dx}{ds}}\,\cos \alpha +{\frac {dy}{ds}}\,\cos \beta +{\frac {dz}{ds}}\,\cos \gamma \right)\\&=K\,\cos(K\,s).\\\end{aligned}}}$

Dabei ist unter ${\displaystyle (K\,s)\!}$ der Winkel zu verstehen, welchen die im Punkte ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ angelegte Tangente der Bahn mit der Richtung der bewegenden Kraft einschliesst.

 Die Gleichung (3) lautet hiernach in anderer Form

(4)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m\,\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int K\,\cos(K\,s)\,ds.}$

Wir bezeichnen die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}}$ mit ${\displaystyle v\!}$ und den Werth, den sie zur Zeit ${\displaystyle t=0\!}$ hat, mit ${\displaystyle v_{0}\!}$. Nehmen wir die bestimmte Integration vor und setzen für die Zeit die Grenzen ${\displaystyle 0\!}$ und ${\displaystyle t\!}$, also für den Weg die Grenzen ${\displaystyle 0\!}$ und ${\displaystyle s\!}$ fest, so ergibt sich