Schwere, Elektricität und Magnetismus:183

vorhandenen Verbindungen auferlegt werden, lassen sich analytisch ausdrücken durch Gleichungen oder Ungleichungen von der Form

${\displaystyle u_{1}\geq 0,\quad u_{2}\geq 0,\ldots }$

Die Functionen ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\ldots }$ sind abhängig von den Coordinaten der Punkte des Systems oder von einigen derselben. Das Princip des Lagrange ist jetzt in der Gleichung enthalten

(15)	${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}dt\lbrace \delta (T+P)+\sum \lambda \,\delta u\rbrace =0.\,}$

Dafür kann man auch schreiben

(16)	${\displaystyle \delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=-\sum \int \limits _{0}^{t}\lambda \,\delta u\,dt.\,}$

Die durch das Zeichen ${\displaystyle \Sigma \!}$ vorgeschriebene Summirung bezieht sich auf sämmtliche Functionen ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\ldots }$, die in den Bedingungen des Systems vorkommen. Die Variationen ${\displaystyle \delta u_{1},\,\delta u_{2},\ldots }$ sind der Reihe nach mit den vorläufig noch unbestimmten Grössen ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots }$ zu multipliciren. Die rechte Seite der Gleichung (16) ist entweder Null oder negativ, weil jedes einzelne ${\displaystyle \lambda \,\delta u}$ gleich Null oder positiv ist.

Fortsetzung: Bestimmung der Grössen ${\displaystyle \lambda \!}$.

 Es handelt sich nun noch darum, die Grössen ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots }$ zu bestimmen. Ihrer Bedeutung nach sind diese Grössen entweder gleich oder proportional den Zusatzkräften, welche man einzuführen hat, damit das System als völlig frei betrachtet werden könne. Nach Einführung der Grössen ${\displaystyle \lambda \!}$ sind demnach die Variationen der 3 ${\displaystyle \,n}$ Coordinaten ${\displaystyle x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\ldots x_{n},\,y_{n},\,z_{n}}$ wieder von einander unabhängig. Man hat also in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen für jedes ${\displaystyle \delta u\!}$ zu schreiben

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u&=\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\,\delta x_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{1}}}\,\delta y_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{1}\\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\,\delta x_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{2}}}\,\delta y_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{2}\\&+\dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\,\delta x_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{n}}}\,\delta y_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{n}}}\,\delta z_{n}.\\\end{aligned}}}$