Schwere, Elektricität und Magnetismus:218

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 204
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Vierter Abschnitt. §. 50.

(12)	$\lim(-RV_{1}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $\lim(-RV_{2}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $\lim(-RV_{3}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $\lim(-RV_{4}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$ für $\lim R=\infty .\,$

Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier $-\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\!$ statt $N\!$ gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit $d\sigma _{1}\!$ und $d\sigma _{2}\!$ ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit $n\!$ die nach innen gezogene Normale, so findet sich

(13)

-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,

$-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$

$-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$

$-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$

Dagegen ist

(14)	$\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}\,$

=\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=0,\,

wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.

Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.