Schwere, Elektricität und Magnetismus:284

endlichen Raume die partielle Differentialgleichung (6) des §. 65 erfüllt, nemlich:

(4)	${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.}$

Noch ist anzumerken, dass in unendlicher Entfernung die magnetischen Kräfte gleich Null sind:

(5)	${\displaystyle X_{\infty }=Y_{\infty }=Z_{\infty }=0.\,}$

 Die Gleichungen (1), (2), (3) sind nicht völlig unabhängig von einander. Sie erfüllen die Bedingungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0.}$

 Um nun unsere Aufgabe zu lösen, eliminiren wir zunächst ${\displaystyle Y\,}$ und ${\displaystyle Z\,}$. Dies geschieht dadurch, dass wir in Gleichung (4) nach ${\displaystyle x\,}$, in (3) nach ${\displaystyle -y\,}$, in (2) nach ${\displaystyle z\,}$ differenziren und die Resultate links und rechts addiren. Auf diese Weise ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=4\pi \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right).}$

Durch Vergleichung mit §. 13, (4) gelangt man zu einer mechanischen Interpretation des gewonnenen Resultates. Danach darf man ${\displaystyle X\,}$ wie die von einer anziehenden schweren Masse herrührende Potentialfunction ansehen, wenn im Punkte ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ die Dichtigkeit der Masse

${\displaystyle =-\left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right)}$

ist. Es ergibt sich also ohne weiteres:

(6)	${\displaystyle X'=-\int \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right){\frac {dT}{r}}}$

und in entsprechender Weise:

(7)	${\displaystyle Y'=-\int \left({\frac {\partial i_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial i_{1}}{\partial z}}\right){\frac {dT}{r}},}$

(8)	${\displaystyle Z'=-\int \left({\frac {\partial i_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial i_{2}}{\partial x}}\right){\frac {dT}{r}}.}$

In diesen Gleichungen bedeutet ${\displaystyle dT\,}$ das an den Punkt ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ anstossende Raumelement, ${\displaystyle r\,}$ ist die Entfernung des Punktes ${\displaystyle (x'\ y'\ z')}$ vom Punkte ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ und ${\displaystyle X',\ Y',\ Z'}$ sind die Compononten der magnetischen Kraft, welche auf die im Punkte ${\displaystyle (x',\ y',\ z')}$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse ausgeübt wird. Die Integrationen in (6), (7), (8) sind über die sämmtlichen von galvanischen Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.