Schwere, Elektricität und Magnetismus:316

 Hiernach sind ${\displaystyle x,\,y,\,z,\,q}$ und ${\displaystyle i\,}$ Functionen von ${\displaystyle s\,}$, und es sind ${\displaystyle x',\,y',\,z',\,q'}$, und ${\displaystyle i'\,}$ Functionen von ${\displaystyle s'\,}$. Für constante lineäre Ströme gilt der §. 61. Es ist also

${\displaystyle q\,i=J,\quad q'\,i'=J',}$

und hier sind ${\displaystyle J\,}$ und ${\displaystyle J'\,}$ constant.

 Im vorliegenden Falle ist ${\displaystyle dS=dq\,ds\,}$ und ${\displaystyle dS'=dq'\,ds'\,}$. Folglich lautet jetzt die Gleichung (8) des vorigen Paragraphen

${\displaystyle P=\iiiint {\frac {1}{r}}dqds\cdot dq'ds'\cdot i\cdot i'\cdot \cos(ii'),}$

oder kürzer

(1)	${\displaystyle P=JJ'\iint {\frac {dsds'}{r}}\cos(ii').}$

Der Winkel ${\displaystyle (ii')\,}$ ist derselbe, wie der Winkel, welchen die Bogenelemente ${\displaystyle ds\,}$ und ${\displaystyle ds'\,}$ mit einander einschliessen. Folglich haben wir

(2)	${\displaystyle \cos(i\,i')={\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}{\frac {\partial z'}{\partial s'}}.}$

Ferner ist zu beachten, dass

${\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2};\,}$

daraus findet sich

(3)

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}={\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial s}}\,{\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {\partial y}{\partial s}}\,{\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {\partial z}{\partial s}}\,{\frac {\partial z'}{\partial s'}}\right).}$

Gibt man hierauf Acht, so lässt sich statt der Gleichung (1) auch schreiben:

(4)	${\displaystyle P=-JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cdot {\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}},}$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	${\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}JJ'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}.}$

Den Ausdruck (4) kann man transformiren. Die unbestimmte Integration nach Theilen gibt