Schwere, Elektricität und Magnetismus:330

Der erweiterte Satz von Lagrange: ${\displaystyle \delta \int \limits _{0}^{t}(T-D+S)dt=0}$.

 Wir betrachten ein System von bewegten materiellen Theilchen. Es sei ${\displaystyle T\!}$ die lebendige Kraft dieses Systems. Der Ausdruck für die zur Zeit ${\displaystyle t\!}$ geleistete Arbeit (das Potential) möge in zwei Theile zerlegt werden

${\displaystyle S+D,\,}$

so dass ${\displaystyle S\!}$ nur von den Coordinaten der Theilchen abhängig ist, ${\displaystyle D\!}$ ausserdem noch von den Geschwindigkeiten. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle x,\,y,\,z}$ die Coordinaten irgend eines der materiellen Punkte und schreiben zur Abkürzung ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x',{\frac {dy}{dt}}=y',{\frac {dz}{dt}}=z'}$, und entsprechend die zweiten Derivirten. Die Componenten der auf den Punkt ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ wirkenden Kraft seien ${\displaystyle X,\,Y,\,Z}$. In dem Zeitelement ${\displaystyle dt\!}$, nach Ablauf der Zeit ${\displaystyle t\!}$, wird die Arbeit geleistet

(1)	${\displaystyle \sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt.}$

Die Summirung ist über sämmtliche Punkte auszudehnen. Diese Arbeit ist gleich dem Zuwachs, welchen das Potential in dem Zeitelement ${\displaystyle dt\!}$ erleidet:

(2)	${\displaystyle \sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt=\left({\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}\right)dt.}$

Nun haben wir aber

(3)	${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=\sum \left(x'{\frac {\partial S}{\partial x}}+y'{\frac {\partial S}{\partial y}}+z'{\frac {\partial S}{\partial z}}\right)}$

(4)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dD}{dt}}&=\sum \left(x'{\frac {\partial D}{\partial x}}+y'{\frac {\partial D}{\partial y}}+z'{\frac {\partial D}{\partial z}}\right)\\&+\sum \left(x''{\frac {\partial D}{\partial x'}}+y''{\frac {\partial d}{\partial y'}}+z''{\frac {\partial D}{\partial z'}}\right).\\\end{aligned}}}$

Aus der Gleichung (2) geht hervor, dass in ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}}$ kein Glied vorkommen darf, das nicht eine von den Geschwindigkeits-Componenten als Factor enthielte. Die Derivirte ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}}$ genügt dieser Bedingung. Damit dasselbe mit ${\displaystyle {\frac {dD}{dt}}}$ der Fall sei, darf in ${\displaystyle D\!}$ kein Glied vorhanden sein, in welchem die Geschwindigkeiten nur in