Schwere, Elektricität und Magnetismus:359

Die Kugelfunction ${\displaystyle n\,}$ten Ranges.

  ferner für einen Punkt im Innern der Erde ${\displaystyle (r<a)\,}$

(7)	${\displaystyle V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n};}$

  endlich für einen Punkt der Erdoberfläche ${\displaystyle (r=a)\,}$

(8)	${\displaystyle V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}.}$

In den drei letzten Gleichungen hat ${\displaystyle Q_{n}\,}$ überall dieselbe Bedeutung, nemlich

(9)	${\displaystyle Q_{n}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,}$

Nun ist aber ${\displaystyle P_{n}\,}$ eine ganze Function ${\displaystyle n\,}$ten Grades von ${\displaystyle \cos \gamma \,}$ d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function ${\displaystyle n\,}$ten Grades von den drei Grossen ${\displaystyle \cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,}$. Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function ${\displaystyle Q_{n}\,}$. Um einen Ausdruck für ${\displaystyle Q_{n}\,}$ zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function ${\displaystyle V\,}$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass ${\displaystyle Q_{0}={\text{const.}}\,}$ ist.

Die Kugelfunction ${\displaystyle n\,}$ten Ranges.

 Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]

(1)

${\displaystyle {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.\,}$

Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2},\,}$

${\displaystyle r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n},\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,}$