Seite:Carl Gottfried Neumann - Die elektrischen Kräfte 087.jpg

	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

     Sind ${\displaystyle E(r)\,}$ und ${\displaystyle F(r)\,}$ beliebige Functionen von ${\displaystyle r,\,}$ jedoch mit einander verbunden durch die Relation:

${\displaystyle (9.)\,}$

${\displaystyle r{\frac {dE(r)}{dr}}+F(r)=0,\,}$

so wird jederzeit die Gleichung stattfinden:

${\displaystyle (10.)\,}$

${\displaystyle {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}[E(r)\cdot \mathrm {E} -F(r)\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}]=0\,}$

die Integration ausgedehnt über zwei geschlossene Curven von beliebiger Gestalt und Lage.

     Beiläufig sei bemerkt, dass (zufolge dieses Satzes) z. B. die Glei­chung stattfindet:

${\displaystyle (11.)\,}$

${\displaystyle {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\mathrm {E} }{r}}-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}=0;\,}$

denn für ${\displaystyle E(r)={\frac {1}{r}},\,}$ wird [zufolge (9.)]: ${\displaystyle F(r)\,}$ ebenfalls ${\displaystyle ={\frac {1}{r}}.\,}$

     Solches vorausgeschickt, gehen wir über zum eigentlichen Gegen­stande. Die eben betrachteten Curven mögen zwei gleichförmige Stromringe ohne Gleitstellen repräsentiren, ${\displaystyle A\,}$ und ${\displaystyle B.\,}$ Es seien:

${\displaystyle J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,}$ und ${\displaystyle J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,}$ zwei Elemente der Ringe ${\displaystyle A\,}$ und ${\displaystyle B;\,}$

${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}\,}$ und ${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1}\,}$ die Coordinaten derselben;

${\displaystyle r={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}}};\,}$

${\displaystyle \mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,}$ und ${\displaystyle \mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,}$ die Richtungscosinus von ${\displaystyle \mathrm {D} s_{0}\,}$ und ${\displaystyle \mathrm {D} s_{1};\,}$

${\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}+\Gamma _{0}\Gamma _{1};\,}$

${\displaystyle \Theta _{0}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0},\,}$

${\displaystyle \Theta _{1}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{1}+\Gamma \Gamma _{1},\,}$ wo ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,}$ die Richtungscosinus der Linie ${\displaystyle r\,}$ vorstellen sollen, gerechnet von ${\displaystyle \mathrm {D} s_{1}\,}$ nach ${\displaystyle \mathrm {D} s_{0};\,}$

${\displaystyle R\,}$ die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher ${\displaystyle J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,}$ einwirkt auf ${\displaystyle J_{0}\mathrm {D} s_{0};\,}$

${\displaystyle {X_{0}}^{A},{Y_{0}}^{A},{Z_{0}}^{A}\,}$ die Componenten dieser Kraft ${\displaystyle R;\,}$

${\displaystyle {X_{0}}^{B},{Y_{0}}^{B},{Z_{0}}^{B}\,}$ die Componenten derjenigen ponderomotorischen. Kraft eldy. Us, welche auf das einzelne Element ${\displaystyle J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,}$ aus­geübt wird vom ganzen Ringe ${\displaystyle B;\,}$

${\displaystyle P\,}$ das elektrodynamische Potential der beiden Ringe ${\displaystyle A\,}$ und ${\displaystyle B\,}$ auf einander.

     Es sei sogleich bemerkt, dass dieses Potential ${\displaystyle P\,}$ (vergl. pag. 56) den Werth hat:

${\displaystyle (12.a)\,}$

${\displaystyle P=-A^{2}\ J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left[4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,}$