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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Unter Anwendung der Abkürzungen

(52.a)

{\begin{array}{l}\Pi =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\Theta _{0}\Theta _{1},\\\\\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}},\end{array}}

kann das elektrodynamische Potential $P$ zweier gleichförmiger Stromringe aufeinander nach Belieben dargestellt werden durch die eine oder andere der beiden Formeln

(52.b)

{\begin{array}{l}P=J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Pi ,\\P=J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega .\end{array}}

Dabei sind unter $r,\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}$ dieselben Grössen zu verstehen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44), andererseits unter $\omega ,{\overset {II}{\omega }}$ zwei lediglich von $r$ abhängende Functionen, welche durch die Relation

(52.c)

\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}

mit einander verknüpft, im Uebrigen aber noch unbekannt sind^[1].

↑ Dass die beiden in (52.b) angegebenen Integrale: $\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Pi$ und $\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega$
von gleichem Werthe sind, lässt sich übrigens noch auf anderem Wege darthun, nämlich nachweisen auf Grund der Relation (52, c).
Nach (52.a) ist
$\Pi -\Omega =-\left[\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\right]\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}};$
hieraus folgt mit Rücksicht auf jene Relation (52.c):
${\begin{array}{ll}\Pi -\Omega &=-r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}\\\\&=+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+{\overset {II}{\omega }}\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right),\ (\mathrm {vergl.\ pag} .\ 39),\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+\left({\overset {II}{\omega }}+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\right){\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+{\frac {d\left({\overset {II}{\omega }}r\right)}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}.\end{array}}$
Setzt man also für den Augenblick: $\int {\overset {II}{\omega }}\ r\ dr=\lambda$ , so folgt:
$\Pi -\Omega =+{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}.$
Hieraus aber ergiebt sich sofort:
$\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left(\Pi -\Omega \right)=0$ , w. z. z. w.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 146. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_164.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

[1] Dass die beiden in (52.b) angegebenen Integrale: $\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Pi$ und $\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega$
von gleichem Werthe sind, lässt sich übrigens noch auf anderem Wege darthun, nämlich nachweisen auf Grund der Relation (52, c).
Nach (52.a) ist
$\Pi -\Omega =-\left[\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\right]\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}};$
hieraus folgt mit Rücksicht auf jene Relation (52.c):
${\begin{array}{ll}\Pi -\Omega &=-r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}\\\\&=+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+{\overset {II}{\omega }}\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right),\ (\mathrm {vergl.\ pag} .\ 39),\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+\left({\overset {II}{\omega }}+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\right){\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+{\frac {d\left({\overset {II}{\omega }}r\right)}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}.\end{array}}$
Setzt man also für den Augenblick: $\int {\overset {II}{\omega }}\ r\ dr=\lambda$ , so folgt:
$\Pi -\Omega =+{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}.$
Hieraus aber ergiebt sich sofort:
$\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left(\Pi -\Omega \right)=0$ , w. z. z. w.

[1]