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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

zerfällt alsdann das Stromelement ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}}$ in die prismatischen Stromelemente ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}$. Diese letztern aber unterscheiden sich (weil die Strömung ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}}$ den geometrischen Axen der Prismata fortdauernd parallel ist) in keinerlei Weise von denjenigen Stromelementen ${\displaystyle J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}}$, welche wir früher bei linearen Leitern zu betrachten Gelegenheit gehabt haben. Nur die Bezeichnung ist eine etwas andere; ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}}$ ist an Stelle von ${\displaystyle J_{1}}$, und ${\displaystyle {\mathsf {D}}\xi _{1}}$ an Stelle von ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{1}}$ getreten.

Die von dem prismatischen Stromelement ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}$ während der Zeit ${\displaystyle dt}$ in dem gegebenen Drahtelemente ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{0}}$, und zwar in der Richtung dieses Elementes, hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us kann daher augenblicklich angegeben werden mit Hülfe des früher (pag. 133) von uns entwickelten Gesetzes, und wird also folgenden Werth haben:

(5.)	${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\Omega ^{\xi },}$

wo die Charakteristik ${\displaystyle d}$ die der Zeit ${\displaystyle dt}$ entsprechenden Veränderungen andeutet, und ${\displaystyle \Theta _{0},\Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }}$ zur Abkürzung stehen für die Ausdrücke:

(6.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Theta _{0}=\cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right),\\\Theta ^{\xi }=\cos(r,\xi ),\\\Omega ^{\xi }=\omega \cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cos(r,\xi )+{\overset {II}{\omega }}\cos \left({\mathsf {D}}s_{0},\xi \right),\\{\mathsf {P}}^{\xi }=\varrho \cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cos(r,\xi )+{\overset {II}{\varrho }}\cos \left({\mathsf {D}}s_{0},\xi \right).\end{array}}}$

Dabei ist unter ${\displaystyle r}$ die Entfernung zu verstehen, und die Richtung ${\displaystyle r}$ fortlaufend zu denken von ${\displaystyle q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}$ nach ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{0}}$, d. i. von ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ nach ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{0}}$.

Summirt man die Kraft (5.) über all’ jene das Volumen ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ erfüllenden Prismata ${\displaystyle q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}$, so erhält man die zu berechnende Kraft ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt}$. Das Volumen ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ ist aber unendlich klein; und es haben daher ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1},r,\Theta _{0},\Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }}$, ebenso ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}+d{\mathfrak {u}}_{1},\ r+dr,\dots }$ für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit erhält man:

(7.)	${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt={\mathfrak {u}}_{1}\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\right){\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\cdots }{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\right)\Omega ^{\xi },}$

oder weil ${\displaystyle \Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}={\mathsf {Dv}}_{1}}$ ist:

(8.)	${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt={\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right){\mathsf {Dv}}_{1}\Omega ^{\xi }.}$

Analoge Werthe ergeben sich offenbar für ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{0}^{1}dt}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt}$; und durch Substitution dieser Werthe in (4.) folgt:

(9.)

${\displaystyle {\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left\{{\begin{array}{rll}&{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)\Omega ^{\xi }\\\\+&{\mathfrak {v}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\eta }-{\mathsf {P}}^{\eta }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\eta }-\Theta ^{\eta }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {v}}_{1}\right)\Omega ^{\eta }\\\\+&{\mathfrak {w}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\zeta }-{\mathsf {P}}^{\zeta }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\zeta }-\Theta ^{\zeta }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {w}}_{1}\right)\Omega ^{\zeta }\end{array}}\right\},}$