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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Ferner ist alsdann [vergl. (35.c), pag. 166] ${\displaystyle P}$ selber dargestellt durch das Integral:

(20.)

${\displaystyle P=\Sigma \Sigma \ \left(J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right).}$

Versteht man unter ${\displaystyle P^{*}}$ denjenigen speciellen Werth, welchen das Potential ${\displaystyle P}$ annimmt, wenn jene in ${\displaystyle A}$ fingirte Stromstärke ${\displaystyle J_{0}}$ identisch mit Eins gedacht wird, so ergeben sich aus (19.), (20.) die Relationen:

(21.)

${\displaystyle P^{*}=\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right)}$

(22.)

${\displaystyle -\delta P^{*}=\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta r\right).}$

Durch Anwendung dieser Relationen (21.), (22.) gewinnt die Formel (17.) die einfachere Gestalt:

(23.)

${\displaystyle -dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)={\frac {\delta P^{*}+\delta P^{*}+\Sigma \Sigma \ M}{2}}+\Delta P^{*};}$

und hiefür kann geschrieben werden:

(24.)

${\displaystyle dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)=dP^{*}+{\frac {1}{2}}\cdot \Sigma \Sigma \ M,}$

wo ${\displaystyle dP^{*}=\delta P^{*}+\Delta P^{*}}$ den vollständigen Zuwachs von ${\displaystyle P^{*}}$ während der Zeit ${\displaystyle dt}$ vorstellt.

Es bleibt noch übrig die Untersuchung von ${\displaystyle \Sigma \Sigma \ M}$. — Nach (10.) ist:

(25.)

${\displaystyle \Theta _{0}=\cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)={\frac {\partial r}{\partial s_{0}}},}$

(26.)

${\displaystyle \Theta _{1}=\cos \left(r,i_{1}\right)=-{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}};}$

denn die Richtung ${\displaystyle r}$ sollte gerechnet sein von ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ nach ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{0}}$, und andererseits soll ${\displaystyle s_{1}}$ die Richtung der augenblicklich in ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ vorhandenen elektrischen Strömung ${\displaystyle i_{1}}$ bezeichnen. Sind ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1}}$ die Coordinaten von ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ in Bezug auf das mit der ponderablen Masse von ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ starr verbundene Axensystem ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$, und sind ferner (ebenso wie im vorhergehenden §.) ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}}$ die Componenten der in ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ vorhandenen elektrischen Strömung ${\displaystyle i_{1}}$, ebenfalls in Bezug auf jenes Axensystem ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$; so ist

(27.)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s_{1}}}={\frac {{\mathfrak {u}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {v}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {w}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}};}$

(vergl. pag. 159). Somit folgt aus (26.)

(28.)

${\displaystyle i_{1}\Theta _{1}=-\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\mathfrak {v}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\mathfrak {w}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}\right)}$

wofür zur Abkürzung (ebenso wie früher, pag. 161) geschrieben werden mag:

(29.)

${\displaystyle i_{1}\Theta _{1}=-{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right).}$