Seite:Carl Gottfried Neumann - Die elektrischen Kräfte 197.jpg

	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

wo ${\displaystyle \Delta u_{1},\Delta v_{1},\Delta w_{1}}$ diejenigen Theile der Zuwüchse ${\displaystyle du_{1},\ dv_{1},\ dw_{1}}$ vorstellen, welche veranlasst sind durch die Strömungsänderungen im Innern des Körpers ${\displaystyle B}$, und ${\displaystyle \delta u_{1},\delta v_{1},\delta w_{1}}$ diejenigen andern Theile jener Zuwüchse bezeichnen, welche herrühren von der relativen Bewegung des Körpers ${\displaystyle B}$ in Bezug auf das zu Grunde gelegte Axensystem (x, y, z).

Wir gehen über zur eigentlichen Aufgabe. Die Componente

${\displaystyle \mathrm {A} _{0}X_{0}^{1}dt+\mathrm {B} _{0}Y_{0}^{1}dt+\Gamma _{0}Z_{0}^{1}dt}$

der gesuchten Kraft ${\displaystyle E_{0}^{1}dt}$ (35.), genommen nach der Richtung des mit ${\displaystyle B}$ verbundenen Linienelementes ${\displaystyle {\mathsf {D}}s_{0}}$, kann unmittelbar angegeben werden auf Grund früherer Untersuchungen [(15.), pag. 173]; man erhält:

(38.)

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\left(\mathrm {A} _{0}X_{0}^{1}+\mathrm {B} _{0}Y_{0}^{1}+\Gamma _{0}Z_{0}^{1}\right)dt&={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\delta \left(i_{1}\Omega \right)-i_{1}{\mathsf {P}}\delta r}{2}}+\Delta \left(i_{1}\Omega \right)\right)\\\\&+{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\sigma \left[\Theta _{0}\delta \left(i_{1}\Theta _{1}\right)-i_{1}\Theta _{1}\delta \Theta _{0}\right]}{2}},\end{array}}}$

wo ${\displaystyle \Theta _{0},\Theta _{1}}$ und ${\displaystyle \Omega ,{\mathsf {P}}}$ mit Rücksicht auf die gegenwärtigen Bezeichnungen, sich darstellen lassen durch:

(39.)

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\Theta _{0}&=\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0},\\i_{1}\Theta _{1}&=\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1},\\i_{1}\Omega &=\omega \left(\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0}\right)\left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\left(\mathrm {A} _{0}u_{1}+\mathrm {B} _{0}v_{1}+\Gamma _{0}w_{1}\right),\\i_{1}{\mathsf {P}}&=\varrho \left(\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0}\right)\left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\right)+{\overset {II}{\varrho }}\left(\mathrm {A} _{0}u_{1}+\mathrm {B} _{0}v_{1}+\Gamma _{0}w_{1}\right).\end{array}}}$

Demgemäss sind ${\displaystyle i_{1}\Omega ,\ i_{1}{\mathsf {P}},\ \Theta _{0}}$ homogene lineare Functionen von ${\displaystyle \mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}}$. Als solche mögen sie bezeichnet werden mit:

(40.)

${\displaystyle {\begin{array}{rl}i_{1}\Omega &=\mathrm {A} _{0}\Omega '+\mathrm {B} _{0}\Omega ''+\Gamma _{0}\Omega ''',\\i_{1}{\mathsf {P}}&=\mathrm {A} _{0}{\mathsf {P}}'+\mathrm {B} _{0}{\mathsf {P}}''+\Gamma _{0}{\mathsf {P}}''',\\\Theta _{0}&=\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} +\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} +\Gamma _{0}\Gamma .\end{array}}}$

Hieraus folgt:

(41.)

${\displaystyle \Delta \left(i_{1}\Omega \right)=\mathrm {A} _{0}\Delta \Omega '+\mathrm {B} _{0}\Delta \Omega ''+\Gamma _{0}\Delta \Omega ''',}$

(42.)

${\displaystyle \delta \left(i_{1}\Omega \right)=\left(\mathrm {A} _{0}\delta \Omega '+\mathrm {B} _{0}\delta \Omega ''+\Gamma _{0}\delta \Omega '''\right)+\left(\Omega '\delta \mathrm {A} _{0}+\Omega ''\delta \mathrm {B} _{0}+\Omega '''\delta \Gamma _{0}\right).}$

Bedienen wir uns nun der Gleichungen (36.):

${\displaystyle {\begin{array}{l}\delta \mathrm {A} _{0}=\Gamma _{0}\delta \beta _{0}-\mathrm {B} _{0}\delta \gamma _{0},\\\delta \mathrm {B} _{0}=\mathrm {A} _{0}\delta \gamma _{0}-{\mathsf {\Gamma }}_{0}\delta \alpha _{0},\\\delta \Gamma _{0}=\mathrm {B} _{0}\delta \alpha _{0}-\mathrm {A} _{0}\delta \beta _{0},\end{array}}}$

so nimmt die Formel (42.) folgende Gestalt an:

(43.)

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\delta \left(i_{1}\Omega \right)=\mathrm {A} _{0}\left(\delta \Omega '+\Omega ''\delta \gamma _{0}+\Omega '''\delta \beta _{0}\right)&+\mathrm {B} _{0}\left(\delta \Omega ''+\Omega '''\delta \alpha _{0}+\Omega '\delta \gamma _{0}\right)\\&+\Gamma _{0}\left(\delta \Omega '''+\Omega '\delta \beta _{0}+\Omega ''\delta \alpha _{0}\right).\end{array}}}$