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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

die Relationen bezeichnet worden, welche stattfinden zwischen den beiderlei Coordinaten ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}}$ des Elementes ${\displaystyle i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}}$. Demgemäss ist:

(${\displaystyle \mu _{2}}$.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}C^{21}+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}C^{31},\\\\{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} ;\end{array}}}$

woraus durch Umkehrung folgt:

(${\displaystyle \mu _{3}}$.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}C^{13},\\\\{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} \end{array}}}$

Multiplicirt man die Gleichungen (${\displaystyle \mu _{2}}$.) der Reihe nach mit ${\displaystyle \delta C^{11},\ \delta C^{12},\ \delta C^{13}}$ (d.i. mit denjenigen Zuwüchsen, welche ${\displaystyle C^{11},\ C^{12},\ C^{13}}$ erfahren während der Zeit ${\displaystyle dt}$), so erhält man:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\delta C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\delta C^{13}={\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\cdot \Sigma \ \left(C^{2h}\delta C^{1h}\right)+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\cdot \Sigma \ \left(C^{3h}\delta C^{1h}\right),}$

also mit Rücksicht auf bekannte Relationen [(40.e), pag. 47]:

(${\displaystyle \mu _{4}}$.)

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\delta C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\delta C^{13}=-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0},}$

wo ${\displaystyle \delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}}$ diejenigen Drehungen vorstellen, welche die ponderable Masse des Elementes ${\displaystyle i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}}$ während der Zeit ${\displaystyle dt}$ erleidet in Bezug auf die absolut festen Axen ${\displaystyle x,y,z}$. — Ferner ist zu bemerken, dass die beiderlei Componenten ${\displaystyle X,Y,Z}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {X,\ Y,\ Z}}}$ der elektromotorischen Kraft ${\displaystyle E}$ (10.) zu einander in den Beziehungen stehen:

(${\displaystyle \mu _{5}}$.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}X=C^{11}{\mathfrak {X}}+C^{12}{\mathfrak {Y}}+C^{13}{\mathfrak {Z}},\\Y=\mathrm {etc.\ etc.} \end{array}}}$

Ist ${\displaystyle f}$ eine beliebige Grösse, d. h. eine von den zehn Argumenten (1.) abhängende Grösse, so bedarf es, um mit den Ableitungen ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ {\frac {\partial f}{\partial y_{0}}},\ {\frac {\partial f}{\partial z_{0}}}}$ einen bestimmten Sinn zu verbinden, einer näheren Determination. Diese sei dargestellt durch die mit (${\displaystyle \mu _{3}}$.) analogen Formeln:

(${\displaystyle \nu }$.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{0}}}={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}C^{12}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}C^{13},\\\\{\frac {\partial f}{\partial y_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} ,\end{array}}}$

wo also ${\displaystyle C^{11}=\cos \left({\mathfrak {x}}_{0},x\right),\ C^{12}=\cos \left({\mathfrak {y}}_{0},x\right),\ C^{13}=\cos \left({\mathfrak {z}}_{0},x\right),}$ ist, u. s. w.