Seite:Carl Gottfried Neumann - Die elektrischen Kräfte 228.jpg

	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

(24.)

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]&=\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\left({\frac {dF}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {dF}{d{\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {dF}{d{\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right)\right],\\\\&=\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\left({\frac {d\left(F{\mathfrak {u}}_{0}\right)}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]-\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]\\\\&=-\Sigma \ \left[{\mathsf {D}}o_{0}F\left({\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+\cdots \right)\right]-\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]\end{array}}}$

also mit Rücksicht auf (22.):

(25.)

${\displaystyle \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {D}}o_{0}F{\frac {d{\overline {\epsilon _{0}}}}{dt}}\right]+\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F{\frac {d\epsilon _{0}}{dt}}\right],}$

oder mit Anwendung der Collectivbezeichnungen (23.):

(26.)

${\displaystyle \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}F{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\right].}$

In dieser Formel mag nun statt ${\displaystyle F}$ das Product

${\displaystyle \partial _{1}\psi \cdot f\,}$

substituirt werden, wo ${\displaystyle f}$ (ebenso wie ${\displaystyle F}$ selber) eine beliebige Function der zehn Argumente (1.) sein soll. Alsdann ergiebt sich:

(27.)

${\displaystyle \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\cdot \partial _{1}\psi \cdot f\right].}$

Multiplicirt man diese Formel mit ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$, und integrirt dann über sämmtliche Volumelemente ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ des Körpers ${\displaystyle B}$, so folgt:

(28.a)

${\displaystyle \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\cdot {\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\psi \cdot f\right].}$

In analoger Weise gelangt man offenbar zu der parallel stehenden Formel:

(28.b)

${\displaystyle \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\cdot {\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\psi \cdot f\right].}$

Der Bequemlichkeit willen mögen nun unter ${\displaystyle {\mathsf {O}}_{00}}$ und ${\displaystyle {\mathsf {O}}_{11}}$ folgende Abkürzungen verstanden werden:

(29.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathsf {O}}_{00}=\left({\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\psi \right),\\\\{\mathsf {O}}_{11}=\left({\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\psi \right);\end{array}}}$

alsdann können die Formeln (28.a,b) so dargestellt werden:

(30.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{00}\cdot f\right],\\\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{11}\cdot f\right].\end{array}}}$

Unterwirft man die Formel (20.) einer Integration über alle ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{0}}$ von ${\displaystyle A}$, und über alle ${\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}$ von ${\displaystyle B}$, so erhält man mit Rücksicht auf (19.) sofort: