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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Kegelöffnung. Auch wird, wie ebenfalls aus (24.) folgt, die Determinante ${\displaystyle \Delta }$ immer diejenige Richtung besitzen, in welcher ${\displaystyle \epsilon {\mathsf {K}}}$ abnimmt.

Es sei ${\displaystyle \lambda _{1}}$ die Fläche des unendlich kleinen Stromes, ${\displaystyle n_{1}}$ die positive Normale derselben; ferner seien ${\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}}$ die Richtungscosinus dieser Normale; ferner mögen die relativen Coordinaten des betrachteten Punctes ${\displaystyle (x,y,z)}$ in Bezug auf den Strom ${\displaystyle \lambda _{1}\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)}$ bezeichnet sein mit ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta ;}$ so dass also

(25.)

${\displaystyle \xi =x-x_{1},\ \eta =y-y_{1},\ \zeta =z-z_{1};}$

endlich sei ${\displaystyle \Delta (\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma )}$ die Determinante von ${\displaystyle \lambda _{1}}$ in Bezug auf jenen Punct.

In diesem Fall reducirt sich die Formel (16.) auf:

(26.)

${\displaystyle {\mathsf {A}}=\Sigma _{\lambda _{1}},}$

wo ${\displaystyle \Sigma _{\lambda _{1}}}$, nach (19.), den Werth hat:

${\displaystyle \Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),}$

also mit Rücksicht auf (25.) auch so dargestellt werden kann:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Sigma _{\lambda _{1}}&=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\right),\\\\&=-\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta }{r^{3}}}\right),\\\\&=-\lambda _{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{r^{3}}}-{\frac {3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{4}}}{\frac {\xi }{r}}\right).\end{array}}}$

Somit folgt aus (26.) sofort:

(27.)

${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathrm {A} =-\lambda _{1}{\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-\lambda _{1}{\frac {\beta _{1}r^{2}-3\eta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}},\\\\\Gamma =-\lambda _{1}{\frac {\gamma _{1}r^{2}-3\zeta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}}.\end{array}}}$

Diese Formeln führen in Betreff der Determinante ${\displaystyle \Delta }$ oder ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma }$ zu folgender Construction:

Man theile die von dem unendlich kleinen Strom ${\displaystyle \lambda _{1}}$