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Den angeführten Grössen sind zur Bequemlichkeit ihre Einheiten beigefügt.

3. ^[1] Der äussere Radius der betrachteten Hohlkugel sei ${\displaystyle R,\,}$ der innere ${\displaystyle r.\,}$ Die Drehungsgeschwindigkeit der Kugel sei ${\displaystyle \omega .\,}$

4. Wird eine Funktion ${\displaystyle \chi ,\,}$ die in einem beliebigen Raum ^[2] der Gleichung ${\displaystyle {\mathit {\Delta }}\chi =0\,}$ genügt, nach Kugelfunktionen entwickelt, so soll ${\displaystyle \chi _{n}\,}$ dasjenige Glied bezeichnen, welches den Faktor ${\displaystyle \varrho ^{n}\,}$ enthält, und diese Bezeichnung soll, wenn nicht näheres bestimmt wird, auch negative ${\displaystyle n\,}$ umfassen.

Bei weiterer Zerlegung von ${\displaystyle \chi _{n}\,}$ gelte die Beziehung:

für positive ${\displaystyle n:\,}$

${\displaystyle \chi _{n}=\varrho ^{n}Y_{n},\,}$

für negative ${\displaystyle n:\,}$

${\displaystyle \chi _{n}=\varrho ^{n}Y_{-n-1},\,}$

${\displaystyle Y_{n}=\sum _{0}^{n}\!i\ (A_{ni}\ \cos i\omega +B_{ni}\ \sin i\omega )\ P_{ni}(\theta ),\,}$

für alle ${\displaystyle n\,}$ gelten die Gleichungen:

${\displaystyle {\mathit {\Delta }}\chi _{n}=0\,}$

${\displaystyle x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}+y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}+z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}=n\chi _{n}.\,}$

Die ${\displaystyle m\,}$ten Differentialquotienten von ${\displaystyle \chi _{n}\,}$ nach den ${\displaystyle x\ y\ z\,}$ sind Kugelfunktionen ${\displaystyle n-m\,}$ter Ordnung, sofern nicht ein vorangegangener der nullten Ordnung wird. Die Ausdrücke

${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{x}}},\ \quad {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{y}}},\ \quad {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{z}}}\,}$

sind Kugelfunktionen ${\displaystyle n\,}$ter Ordnung,

Ferner ist

${\displaystyle {\mathit {\Delta }}(\varrho ^{m}Y_{n})=(m-n)(m+n+1)\varrho ^{m-2}Y_{n}\,}$

${\displaystyle x{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial x}}+y{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial y}}+z{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial z}}=m\varrho ^{m}Y_{n}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial \varrho }}={\frac {m}{\varrho }}(\varrho ^{m}Y_{n}).\,}$