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Es seien ${\displaystyle U,\ V,\ W\,}$ die Componenten eines Vectorpotentiales, welches von geschlossenen Strömen herrührt, die ganz oder theilweise im Innern der Kugel liegen. Wir suchen die von ${\displaystyle U,\ V,\ W\,}$ inducirten Ströme ${\displaystyle u',\ v',\ w'.\,}$ Für dieselben bestehen die Gleichungen:

[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varkappa u'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+\omega x\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa v'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+\omega y\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa w'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-\omega x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)-\omega y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,}$

ferner im Innern:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0,\,}$

und an der Oberfläche:

${\displaystyle ux+vy+wz=0.\,}$

Wir setzen zur Abkürzung

${\displaystyle O=x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+z\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right).\,}$

Unter Beachtung des Umstandes, dass

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}=0\,}$

ist, erhalten wir nun für ${\displaystyle \varphi \,}$ die Bedingungen:

In der Masse der Hohlkugel:

${\displaystyle {\mathit {\Delta }}\varphi =2\omega \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)+\omega (x{\mathit {\Delta }}V-y{\mathit {\Delta }}U),\,}$

und an der Grenze

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {\omega }{\varrho }}\left\lbrace \varrho ^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)-zO\right\rbrace .\,}$

^[2] Wir beweisen zunächst den folgenden Satz: Haben ${\displaystyle U\ V\ W\,}$ die Form: