Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 038.png

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{1}&={\frac {2\pi }{n+1}}{\frac {\omega }{\varkappa }}{\frac {\partial \chi '}{\partial \omega _{x}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right)\\V_{1}&={\frac {2\pi }{n+1}}{\frac {\omega }{\varkappa }}{\frac {\partial \chi '}{\partial \omega _{y}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right)\\W_{1}&={\frac {2\pi }{n+1}}{\frac {\omega }{\varkappa }}{\frac {\partial \chi '}{\partial \omega _{z}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right).\end{aligned}}\,}$

Man findet diese Werthe durch eine einfache Integration, indem man beachtet, dass ${\displaystyle u_{1}\ v_{1}\ w_{1}\,}$ Produkte von ${\displaystyle \varrho ^{n}\,}$ und Kugelflächenfunktionen sind. Das Potential jeder unendlich dünnen Kugelschicht im Innern und Aeussern derselben ist bekannt und eine Integration nach ${\displaystyle \varrho \,}$ giebt die angeführten Werthe. Es folgen aus denselben die Strömungen zweiter Induction:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{2}&=-{\frac {2\pi }{n+1}}\left({\frac {\omega }{\varkappa }}\right)^{2}{\frac {\partial \chi ''}{\partial \omega _{x}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right)\\v_{2}&=-{\frac {2\pi }{n+1}}\left({\frac {\omega }{\varkappa }}\right)^{2}{\frac {\partial \chi ''}{\partial \omega _{y}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right)\\w_{2}&=-{\frac {2\pi }{n+1}}\left({\frac {\omega }{\varkappa }}\right)^{2}{\frac {\partial \chi ''}{\partial \omega _{z}}}\left({\frac {R^{2}}{2n+1}}-{\frac {\varrho ^{2}}{2n+3}}-{\frac {2r^{2n+3}}{(2n+1)(2n+3)\varrho ^{2n+1}}}\right).\end{aligned}}\,}$

In derselben Weise kann die Rechnung beliebig fortgesetzt werden, die Resultate derselben werden jedoch immer complicirter und wir wenden uns daher zur exacten Lösung des Problems.

Wir sahen, dass die Strömungen immer senkrecht zum Radius sind, wir können also wieder von der Strömungsfunktion Gebrauch machen.

Sei ${\displaystyle f(\varrho )=f\,}$ eine beliebige Funktion von ${\displaystyle \varrho \,}$, sei

${\displaystyle \psi =\varrho \cdot f\cdot \chi _{n}\,}$

die Strömungsfunktion eines in der Kugel bestehenden Stromsystems.

Die Stromdichten sind: