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${\displaystyle ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n-1}(S)-{\frac {s^{2n+3}}{2(n+1)}}p_{n+1}(s)-{\frac {2n+1}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\sigma ).\,}$

Setzt man diese und die ähnlich zu bildenden Ausdrücke für ${\displaystyle q\,}$ in die Gleichungen ein, beachtet, dass ${\displaystyle \varphi _{2}=-\varphi _{1}\lambda ^{2},\,}$ und ${\displaystyle \lambda ^{4}=-1,\,}$ so heben sich die ${\displaystyle p\,}$ und ${\displaystyle q,\,}$ wie es sein muss, heraus und es bleiben Gleichungen zurück von der Form

${\displaystyle 0={\text{const}}_{1}+{\frac {{\text{const}}_{2}}{\varrho ^{2n+1}}},\,}$

welches die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}\left(\sigma ^{-2n}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{2n+1}\varphi )\right)=0\,}$

sind.

Die hier auftretenden Constanten müssen einzeln verschwinden, und es werden so die folgenden 4 Gleichungen für ${\displaystyle A\ B\ C\ D\,}$ erhalten, unter Beachtung des Umstandes, dass

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}=-{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\,}$

ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2n+1}{2n}}&=Ap_{n-1}(\lambda _{1}S)+Bp_{n-1}(\lambda _{2}S)+Cq_{n-1}(\lambda _{1}S)+Dq_{n-1}(\lambda _{2}S)\\0&=Ap_{n-1}(\lambda _{1}S)-Bp_{n-1}(\lambda _{2}S)+Cq_{n-1}(\lambda _{1}S)-Dq_{n-1}(\lambda _{2}S)\\0&=Ap_{n+1}(\lambda _{1}s)+Bp_{n+1}(\lambda _{2}s)+Cq_{n+1}(\lambda _{1}s)+Dq_{n+1}(\lambda _{2}s)\\0&=Ap_{n+1}(\lambda _{1}s)-Bp_{n+1}(\lambda _{2}s)+Cq_{n+1}(\lambda _{1}s)-Dq_{n+1}(\lambda _{2}s).\end{aligned}}\,}$

Dieselben lassen sich leicht auflösen und ergeben:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {q_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-p_{n+1}(\lambda _{1}s)q_{n-1}(\lambda _{1}S)}}\\C&=-&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {p_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-p_{n+1}(\lambda _{1}s)q_{n-1}(\lambda _{1}S)}}\\B&=&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {q_{n+1}(\lambda _{2}s)}{p_{n-1}(\lambda _{2}S)q_{n+1}(\lambda _{2}s)-p_{n+1}(\lambda _{2}s)q_{n-1}(\lambda _{2}S)}}\\D&=-&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {p_{n+1}(\lambda _{2}s)}{p_{n-1}(\lambda _{2}S)q_{n+1}(\lambda _{2}s)-p_{n+1}(\lambda _{2}s)q_{n-1}(\lambda _{2}S)}}.\end{aligned}}\,}$