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Indem man diese Ausdrücke in ${\displaystyle \varphi _{1}\,}$ und ${\displaystyle \varphi _{2}\,}$ einsetzt, erhält man die vollständige Lösung. Dieselbe lässt sich einfacher darstellen in folgender Weise: Da ${\displaystyle \lambda _{1}\,}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ conjugirt sind, so sind auch ${\displaystyle p(\lambda _{1}\sigma )\,}$ und ${\displaystyle p(\lambda _{2}\sigma )\,}$ conjugirt, ebenso sind, wie man leicht sieht, ${\displaystyle A\,}$ und ${\displaystyle B\,}$ conjugirt, und es ist daher

${\displaystyle Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )\,}$

gleich dem doppelten Werthe des reellen Theiles jedes dieser Ausdrücke. Ebenso ist

${\displaystyle Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )-Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma ),\,}$

welcher Ausdruck in ${\displaystyle \varphi _{2}\,}$ vorkommt, gleich dem Doppelten des imaginären Theiles des ersten Gliedes. Indem man dies beachtet, und die Werthe von ${\displaystyle A\,}$ und ${\displaystyle C,\,}$ erkennt man leicht die Richtigkeit der Gleichung:

${\displaystyle {\frac {2n+1}{2n}}\cdot {\frac {p_{n}(\lambda _{1}\sigma )q_{n+1}(\lambda _{1}s)-q_{n}(\lambda _{1}\sigma )p_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-q_{n-1}(\lambda _{1}S)p_{n+1}(\lambda _{1}s)}}\,}$ [1]

${\displaystyle =\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}=f_{1}+f_{2}{\sqrt {-1}}.\,}$

Besonders einfach wird die Gleichung, wenn ${\displaystyle s=0\,}$ ist, es sich also um eine Vollkugel handelt. Dann ist ${\displaystyle q_{n+1}(s)\,}$ unendlich, unsere Gleichung wird also:

${\displaystyle {\frac {2n+1}{2n}}{\frac {p_{n}(\lambda _{1}\sigma )}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)}}=\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}.\,}$

Die Grössen, auf deren Kenntniss es uns besonders ankommt, nämlich der Winkel ${\displaystyle \delta ={\text{arc tg}}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,}$ und die Verstärkung der Stromstärke ${\displaystyle {\sqrt {f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}},\,}$ haben eine sehr einfache analytische Bedeutung, sie sind Amplitude und Modul der links stehenden complexen Grössen.

Die Rechnungen lassen sich weiter führen mit Zuhülfenahme der folgenden Bemerkungen:

Die Integrale, durch welche ${\displaystyle p\,}$ und ${\displaystyle q\,}$ definirt sind, lassen ^[2] sich für ganzzahlige ${\displaystyle n\,}$ unbestimmt ausführen, und die ${\displaystyle p\,}$ und ${\displaystyle q\,}$ also in geschlossener Form erhalten. Wir können und wollen unter den ${\displaystyle p\,}$ und ${\displaystyle q\,}$ diese so ausgerechneten Funktionen verstehen.