Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 055.png

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}\sigma &=1&+{\frac {1}{2n+1}}\left\lbrace \int \limits _{s}^{\sigma }a\varphi _{2}(a)\,da+\int \limits _{\sigma }^{S}\sigma ^{2n+1}a^{-2n}\varphi _{2}a\,da\right\rbrace \\\varphi _{2}\sigma &=&-{\frac {1}{2n+1}}\left\lbrace \int \limits _{s}^{\sigma }a\varphi _{1}a\,da+\int \limits _{\sigma }^{S}\sigma ^{2n+1}a^{-2n}\varphi _{1}a\,da\right\rbrace .\end{aligned}}\,}$

Differenzirt geben diese

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\sigma }}\left(\sigma ^{2n+2}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{-2n-1}\varphi _{1})\right)&=-&\sigma \varphi _{2}\\{\frac {d}{d\sigma }}\left(\sigma ^{2n+2}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{-2n-1}\varphi _{2})\right)&=&\sigma \varphi _{1}\end{aligned}}\,}$

oder

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''_{1}-{\frac {2n}{\sigma }}\varphi '_{1}&=-&\varphi _{2}&\\\varphi ''_{2}-{\frac {2n}{\sigma }}\varphi '_{2}&=&\varphi _{1}&.\end{aligned}}\,}$

Setzt man ${\displaystyle \varphi =\sigma ^{2n+1}{\bar {\varphi }},\,}$ so folgen für die ${\displaystyle {\bar {\varphi }}\,}$ die Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\varphi }}''_{1}+{\frac {2n+2}{\sigma }}{\bar {\varphi }}'_{1}&=-&{\bar {\varphi }}_{2}&\\{\bar {\varphi }}''_{2}+{\frac {2n+2}{\sigma }}{\bar {\varphi }}'_{2}&=&{\bar {\varphi }}_{1}&,\end{aligned}}\,}$

also Gleichungen, welche wieder auf die ${\displaystyle p_{n}\,}$ und ${\displaystyle q_{n}\,}$n führen.

Die Bestimmung der Constanten lässt sich dann ganz analog der früheren ausführen und es wird erhalten:

${\displaystyle \varphi _{1}{\sqrt {-1}}-\varphi _{2}\,}$

${\displaystyle =-2(n+1)(2n+1){\frac {\sigma ^{2n+1}}{s^{2n+3}}}\cdot {\frac {q_{n-1}(\lambda S)q_{n}(-\lambda \sigma )-q_{n-1}(-\lambda S)q_{n}(\lambda \sigma )}{q_{n-1}(\lambda S)(q_{n+1}(-\lambda s)-q_{n-1}(-\lambda S)q_{n+1}(\lambda s)}}.\,}$

Besonders einfach wird die Formel für den Fall, dass ${\displaystyle S\ \infty \,}$ ist, es sich also um einen kugelförmigen Hohlraum in einer unbegrenzten Masse handelt.