Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 060.png

Führen wir die Bezeichnungen ${\displaystyle {\mathit {\Omega }}\,}$ und ${\displaystyle {\mathit {\Theta }}\,}$ ein für die Strömungen längs der Breiten- und Meridiankreise in Richtung der wachsenden ${\displaystyle \theta \,}$ und ${\displaystyle \omega ,\,}$ so haben wir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {\Omega }}&=-{\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\\{\mathit {\Theta }}&=-{\frac {1}{R\ \sin \theta }}{\frac {d\psi }{\partial \omega }}\end{aligned}}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\mathit {\Theta }}\ \cos \theta \ \cos \omega +\Omega \ \sin \omega \\v&={\mathit {\Theta }}\ \cos \theta \ \sin \omega -\Omega \ \cos \omega \\w&=-{\mathit {\Theta }}\ \sin \theta .\end{aligned}}\,}$

Setzt man hierin den angeführten Werth von ${\displaystyle \psi _{ni}\,}$ ein, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {A}{R}}\lbrace -\cos i\omega \ \cos \omega (iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta )+\sin i\omega \ \sin \omega P'_{ni}\rbrace \\v&={\frac {A}{R}}\lbrace -\cos i\omega \ \sin \omega (iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta )-\sin i\omega \ \cos \omega P'_{ni}\rbrace \\w&={\frac {A}{R}}i\ \cos i\omega \ P_{ni}.\end{aligned}}\,}$

Nun ist aber:

${\displaystyle {\begin{aligned}iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta &={\tfrac {1}{2}}(P_{n,i+1}+(n+i)(n-i+1)P_{n,i-1}\\P'_{ni}&={\tfrac {1}{2}}(-P_{n,i+1}+(n+i)(n-i+1)P_{n,i-1}).\end{aligned}}\,}$

Durch Einsetzung dieser Werthe in ${\displaystyle u\ v\ w\,}$ folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=-{\frac {A}{2R}}\lbrace \cos(i+1)\omega \ P_{n,i+1}+(n+1)(n-i+1)\ \cos(i-1)\omega \ P_{n,i+1}\rbrace \\v&=-{\frac {A}{2R}}\lbrace \sin(i+1)\omega \ P_{n,i+1}-(n+1)(n-i+1)\ \sin(i-1)\omega \ P_{n,i+1}\rbrace \\w&=\quad {\frac {A}{R}}i\cos i\omega \ P_{ni}.\end{aligned}}\,}$

Hierdurch sind die ${\displaystyle u\ v\ w\,}$ nach Kugelflächenfunktionen entwickelt. In gleicher Form denken wir uns die ${\displaystyle u\ v\ w\,}$ für alle Glieder bestimmt, und den Ausdruck

${\displaystyle \int (u^{2}+v^{2}+w^{2})\ ds\,}$