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${\displaystyle \psi '\,}$ ist genau so zu bilden, wie früher, also ist auch ${\displaystyle \psi '_{\theta }\,}$ bekannt. Setzt man die Werthe von ${\displaystyle \psi ,\ \psi _{0},\ \psi '_{\theta }\,}$ in die letzte Gleichung ein und macht die Coefficienten von ${\displaystyle \cos i\omega \,}$ und ${\displaystyle \sin i\omega \,}$ einzeln der Null gleich, so folgen für die ${\displaystyle f_{1},\ f_{2},\ F_{1}\,}$ und ${\displaystyle F_{2}\,}$ die Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}\varrho &={\frac {(2n+1)(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}-&{\frac {\omega i}{\varkappa }}&{\frac {4\pi \theta n(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}\ F_{2}(R)\\&&&+{\frac {\omega i}{\varkappa }}(1+4\pi \theta )F_{2}(\varrho )\\f_{2}(\varrho )&=&{\frac {\omega i}{\varkappa }}&{\frac {4\pi \theta n(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}\ F_{1}(R)\\&&&-{\frac {\omega i}{\varkappa }}(1+4\pi \theta )F_{1}(\varrho ).\end{aligned}}\,}$

Setzt man hier

${\displaystyle {\frac {4\pi i\omega (1+4\pi \theta )}{\varkappa }}=\mu ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(\varrho )&=\varphi _{1}(\mu \varrho )&=\varphi _{1}\sigma \\f_{2}(\varrho )&=\varphi _{2}(\mu \varrho )&=\varphi _{2}\sigma \end{aligned}}\,}$

so werden für die ${\displaystyle \varphi _{1}\,}$ und ${\displaystyle \varphi _{2}\,}$ hier genau dieselben Differentialgleichungen erhalten, wie früher (Seite 41). Da wir eine Vollkugel behandeln, brauchen wir nur diejenigen Lösungen beizubehalten, welche im Mittelpunkte endlich sind, wir können also setzen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}&=Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )\\\varphi _{2}&=-\lambda _{1}^{2}Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )-B\lambda _{2}^{2}p_{n}(\lambda _{2}\sigma )\end{aligned}}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda =\lambda _{1}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {-1}})\\\lambda _{2}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(1-{\sqrt {-1}}).\end{aligned}}\,}$

Die Bestimmung der Constanten hat hier genau nach derselben Methode zu geschehen, wie oben. Die Integrale, welche zu bilden sind, sind nicht verschieden von den früheren, nur durch die Weitläufigkeit der Constanten wird die Rechnung etwas verwickelter. Das Resultat aber ist ein relativ einfaches, es wird gefunden: