10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe/Lösung

Wegen

${\displaystyle {}10^{k}=2^{k}\cdot 5^{k}\,}$

bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}z}$ weder ${\displaystyle {}2}$ noch ${\displaystyle {}5}$ vorkommt. Wegen

${\displaystyle {}z=10v+r\,}$

mit der Endziffer ${\displaystyle {}r}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}9}$ ist ${\displaystyle {}z}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}2}$ (bzw. von ${\displaystyle {}5}$)

genau dann, wenn das für die Endziffer ${\displaystyle {}r}$ gilt. Dies sind aber genau die geraden Ziffern oder die ${\displaystyle {}5}$. Dass ${\displaystyle {}z}$ weder ein Vielfaches der ${\displaystyle {}2}$ noch der ${\displaystyle {}5}$ ist, ist somit äquivalent dazu, dass die Endziffer gleich ${\displaystyle {}1,3,7}$ oder ${\displaystyle {}9}$ ist.