1 durch Logarithmus/Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

a) Skizze.

b) Es ist

${\displaystyle {}f'(x)=-{\frac {1}{x{\left(\ln x\right)}^{2}}}\,.}$

c) Es ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)={\frac {{\left(\ln x\right)}^{2}+x2{\left(\ln x\right)}{\frac {1}{x}}}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{4}}}={\frac {{\left(\ln x\right)}+2}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{3}}}\,.}$

d) Wegen ${\displaystyle {}0<x<1}$ ist ${\displaystyle {}f'(x)<0}$ und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ ist stets negativ. Für den Zähler gilt

${\displaystyle {}{\left(\ln x\right)}+2=0\,}$

genau dann, wenn

${\displaystyle {}x=e^{-2}\,.}$

Für ${\displaystyle {}x<e^{-2}}$ ist die zweite Ableitung negativ und für

${\displaystyle {}x>e^{-2}}$ ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei ${\displaystyle {}x=e^{-2}}$