2x2-Matrix/1234/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung
<
2x2-Matrix/1234/Eigenwerte/Aufgabe
Das
charakteristische Polynom
ist
det
(
(
X
0
0
X
)
−
(
1
2
3
4
)
)
=
det
(
X
−
1
−
2
−
3
X
−
4
)
=
(
X
−
1
)
(
X
−
4
)
−
6
=
X
2
−
5
X
−
2.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-1&-2\\-3&X-4\end{pmatrix}}\\&=(X-1)(X-4)-6\\&=X^{2}-5X-2.\end{aligned}}}
Die Nullstellen davon sind
x
12
=
±
25
+
8
+
5
2
=
±
33
+
5
2
,
{\displaystyle {}x_{12}={\frac {\pm {\sqrt {25+8}}+5}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {33}}+5}{2}}\,,}
das sind zugleich die Eigenwerte.
Zur gelösten Aufgabe
