3x3-Matrix/2 Einträge 0/Invertierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ein solcher Untervektorraum ${\displaystyle {}V\subseteq \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)}$ gegeben, der aus allen ${\displaystyle {}3\times 3}$-Matrizen besteht, die an zwei fixierten Positionen eine ${\displaystyle {}0}$ haben. Wenn man zwei Zeilen oder aber zwei Spalten miteinander vertauscht, so ändert sich die Invertierbarkeit nicht. Wir können also nach Vertauschungen davon ausgehen, dass die beiden Positionen folgendermaßen verteilt sind:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0&0\\c&d&e\\g&h&i\end{pmatrix}}{\text{ oder }}{\begin{pmatrix}a&b&0\\d&e&0\\g&h&i\end{pmatrix}}{\text{ oder }}{\begin{pmatrix}a&0&b\\c&d&0\\e&g&h\end{pmatrix}}.}$

In diesen drei Situationen kann man jeweils die Hauptdiagonalelemente gleich ${\displaystyle {}1}$ und alle anderen Einträge gleich ${\displaystyle {}0}$ wählen und erhält in den Vektorräumen die invertierbare Einheitsmatrix.