3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir orientieren uns an Fakt. Es ist

${\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&10\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}M^{3}=0\,.}$

Somit ist

${\displaystyle V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1}\rangle ,\,V_{2}=\operatorname {kern} M^{2}=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{3}=K^{3}.}$

Es ist

${\displaystyle {}V_{3}=V_{2}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,}$

sodass wir

${\displaystyle {}U_{3}=\langle e_{3}\rangle \,}$

wählen können. Es ist

${\displaystyle {}Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\in V_{2}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}V_{2}=V_{1}\oplus U_{2}\,}$

mit

${\displaystyle {}U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.}$

Schließlich ist

${\displaystyle {}M^{2}e_{3}=M{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

eine Basis wie gewünscht. Die neue Matrix besitzt die jordansche Normalform

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$