4x4-Matrix/Blockmatrix/R/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&-3&0&0\\-4&X-1&0&0\\0&0&X-5&2\\0&0&-1&X-3\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-2\right)}{\left(X-1\right)}-12\right)}\cdot {\left({\left(X-5\right)}{\left(X-3\right)}+2\right)}\\&={\left(X^{2}-3X-10\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\\&=X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170.\end{aligned}}}$

b) Wir untersuchen, ob die beiden quadratischen Polynome reelle Nullstellen besitzen. Die Gleichung

${\displaystyle {}X^{2}-3X-10=0\,}$

führt auf

${\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {9+40}}+3}{2}}={\frac {\pm 7+3}{2}}\,,}$

also

${\displaystyle {}x_{1}=5\,}$

und

${\displaystyle {}x_{2}=-2\,.}$

Die Gleichung

${\displaystyle {}X^{2}-8X-17=0\,}$

führt auf

${\displaystyle {}x_{3,4}={\frac {\pm {\sqrt {64-68}}+8}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-4}}+8}{2}}\,,}$

was reell keine Lösung besitzt. Die Faktorzerlegung ist also

${\displaystyle {}\chi _{M}={\left(X-5\right)}{\left(X+2\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\,.}$

c) Die Eigenwerte sind ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}-2}$. Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}5}$ ist der Kern von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-3&0&0\\-4&4&0&0\\0&0&0&2\\0&0&-1&2\end{pmatrix}},}$

das ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}-2}$ ist der Kern von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&-3&0&0\\-4&-3&0&0\\0&0&-7&2\\0&0&-1&-5\end{pmatrix}},}$

das ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}.}$