A1-Singularität/Endlicher Körper/Punktanzahl/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Anzahl der Monoidhomomorphismen

${\displaystyle \varphi \colon (M,+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q},\cdot ,1).}$

Ein solcher Homomorphismus ist durch ein Tupel

${\displaystyle {}(x,y,z)=(\varphi (e),\varphi (f),\varphi (g))\in {\mathbb {F} }_{q}^{3}\,}$

gegeben, das die Bedingung

${\displaystyle {}xy=z^{2}\,}$

erfüllt. Bei ${\displaystyle {}y=0}$ ist ${\displaystyle {}z^{2}=0}$ und damit auch ${\displaystyle {}z=0}$, und für ${\displaystyle {}x}$ kann man ein beliebiges Element aus ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ einsetzen. Dies ergibt ${\displaystyle {}q}$ Möglichkeiten. Bei ${\displaystyle {}y\neq 0}$, wofür es ${\displaystyle {}q-1}$ Möglichkeiten gibt, ist

${\displaystyle {}x={\frac {z^{2}}{y}}\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}x}$ ist durch die Belegungen von ${\displaystyle {}y}$ und ${\displaystyle {}z}$ eindeutig bestimmt. Dafür gibt es ${\displaystyle {}(q-1)q}$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${\displaystyle {}q+(q-1)q=q^{2}\,}$

${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$

${\displaystyle {}M}$