Abbildungsfolge/R^n/Gleichmäßige Konvergenz/Komponente/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und

${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass ${\displaystyle {}f_{n}}$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen ${\displaystyle {}(f_{i})_{n}}$ gleichmäßig gegen ${\displaystyle {}f_{i}}$ konvergieren.