Achsenkreuz/C/Milnorfaser/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,}$

die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche ${\displaystyle {}f^{-1}(0)}$ ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt ${\displaystyle {}a\neq 0}$ ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,,}$

und zwar über die Abbildung

${\displaystyle f^{-1}(a)={\left\{(x,y)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid xy=a\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(x,y)\longmapsto x,}$

mit der Umkehrabbildung ${\displaystyle {}x\mapsto \left(x,\,{\frac {a}{x}}\right)}$. Die Milnorfaser, also der Schnitt von ${\displaystyle {}f^{-1}(a)}$ mit dem reellen abgeschlossen Ball ${\displaystyle {}B\left(0,\delta \right)}$, der ja durch

${\displaystyle {}\vert {x}\vert ^{2}+\vert {y}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\,}$

gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu

${\displaystyle {\left\{x\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\mid \vert {x}\vert ^{2}+\vert {\frac {a}{x}}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\right\}}.}$

Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl ${\displaystyle {}\vert {x}\vert }$, dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl ${\displaystyle {}x}$, dass sie zu einem Annulus (Kreisring) mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren.