Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}V=V(XY,XZ,YZ)=V(XY)\cup V(XZ)\cup V(YZ)\,}$

ist die Vereinigung der drei Achsen im Raum.

${\displaystyle K^{3}\longrightarrow K^{2},}$

die durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}}$ bezüglich der Standardbasen gegeben ist, bildet die ${\displaystyle {}X-Y}$-Ebene identisch auf sich ab und die ${\displaystyle {}Z}$-Achse auf die Hauptdiagonale in dieser Ebene. Damit liegt das Bild des Achsenkreuzes ganz im Nullstellengebilde ${\displaystyle {}W=V(ST(S-T))}$ und ergibt somit einen Morphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$. Dieser ist bijektiv, da jede beteiligte Gerade bijektiv auf eine Gerade abgebildet wird.

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle K[S,T]/(ST(S-T))\longrightarrow K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ)}$

mit ${\displaystyle {}S\mapsto X+Z}$ und ${\displaystyle {}T\mapsto Y+Z}$ vor. Dies induziert einen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus der Nenneraufnahmen

${\displaystyle (K[S,T]/(ST(S-T)))_{S+T}\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ))_{X+Y+2Z}.}$

Dabei ist der Schnittpunkt von ${\displaystyle {}V(S+T)}$ bzw. ${\displaystyle {}V(X+Y+2Z)}$ mit den drei Geraden jeweils der Nullpunkt (die Charakteristik ist nicht ${\displaystyle {}2}$), sodass diese Nenneraufnahmen jeweils das Komplement des Nullpunktes beschreiben. Der rechte Ring ist, geschrieben in den Variablen ${\displaystyle {}A=X+Z,B=Y+Z,Z}$, gleich

${\displaystyle K[A,B,Z,(A+B)^{-1}]/((A-Z)Z,(B-Z)Z,(A-Z)(B-Z))).}$

In diesem Ring ist Wegen

${\displaystyle {}2AB=2Z(A+B)-2Z^{2}=2Z(A+B)-AZ-BZ=Z(A+B)\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}Z={\frac {2AB}{A+B}}\,.}$

Man kann also ${\displaystyle {}Z}$ eliminieren, die Idealerzeuger werden dann wegen

${\displaystyle {}A-Z=A-{\frac {2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}+AB-2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\,}$

zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(A-Z)Z&={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {2AB}{A+B}}\\&={\frac {2A^{2}B(A-B)}{(A+B)^{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(B-Z)Z&={\frac {2AB^{2}(A-B)}{(A+B)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}(A-Z)(B-Z)={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {B^{2}-AB}{A+B}}={\frac {A^{2}B^{2}+A^{2}B^{2}-AB^{3}-A^{3}B}{(A+B)^{2}}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}A+B}$ und ${\displaystyle {}2}$ Einheiten sind, bedeuten die beiden ersten Idealerzeuger

${\displaystyle {}A^{3}B=A^{2}B^{2}=AB^{3}\,,}$

sodass der dritte Erzeuger überflüssig ist. Wegen

${\displaystyle {}AB(A-B)(A+B)=AB{\left(A^{2}-B^{2}\right)}\,}$

gehört auch ${\displaystyle {}AB(A-B)}$ zum Ideal, das andererseits das Ideal erzeugt. Also ist die durch ${\displaystyle {}S\mapsto A}$ und ${\displaystyle {}T\mapsto B}$ gegebene Abbildung ein Isomorphismus.