Achsenspiegelung/Winkelhalbierung/Normiert/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,}$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$ ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ von ${\displaystyle {}M}$ ist. Verwende die Verdoppelungsformeln

${\displaystyle {}\sin \left(2\beta \right)=2\sin \beta \cos \beta \,}$

und

${\displaystyle {}\cos \left(2\beta \right)=2\cos ^{2}\beta -1\,.}$