Achteldrehung/Matrix/Potenzen/Gruppe/Aufgabe/Lösung

a) ${\displaystyle {}\,}$

b) Es ist

${\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}\\{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.}$

c) Es ist

${\displaystyle {}M^{4}={\left(M^{2}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}M^{8}={\left(M^{4}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.}$

d) Es ist

${\displaystyle {}M^{1003}=M^{8\cdot 125+3}={\left(M^{8}\right)}^{125}\cdot M^{3}=M\cdot M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.}$

e) Die Potenzen ${\displaystyle {}M^{k}}$ für ${\displaystyle {}k\leq 8}$ stimmen mit einer Potenz ${\displaystyle {}M^{i}}$ mit

${\displaystyle {}i=0,1,\ldots ,7\,}$

überein, deshalb ist die angegebene Menge abgeschlossen unter der Multiplikation. Es sind ${\displaystyle {}M^{1}}$ und ${\displaystyle {}M^{7}}$, ${\displaystyle {}M^{2}}$ und ${\displaystyle {}M^{6}}$, ${\displaystyle {}M^{3}}$ und ${\displaystyle {}M^{5}}$ zueinander und ${\displaystyle {}M^{4}}$ zu sich selbst invers. Die Assoziativität ergibt sich aus der Assoziativität der Matrizenmultiplikation. Die acht Potenzen sind untereinander verschieden: Dies ist klar für die explizit berechneten Potenzen

${\displaystyle M^{0},M^{1},M^{2},M^{3}.}$

Für ${\displaystyle {}M^{i}}$ mit ${\displaystyle {}4\leq i\leq 7}$ ist

${\displaystyle {}M^{i}=M^{4}\cdot M^{i-4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot M^{i-4}=-M^{i-4}\,.}$