Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,}$

in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Diese besitzt eine ${\displaystyle {}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$-Graduierung, bei der ${\displaystyle {}1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element ${\displaystyle {}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}}$ ist eine ${\displaystyle {}8}$-te primitive Einheitswurzel und wegen ${\displaystyle {}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }}$ ist ${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})}$ der achte Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}\zeta _{8}}$ ist ${\displaystyle {}X^{4}+1}$, sodass man auch ${\displaystyle {}L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)}$ schreiben kann. Dies zeigt, dass ${\displaystyle {}L}$ auch eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$-graduierte Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist, bei der ${\displaystyle {}\zeta _{8}}$ homogen ist.