Affine Abbildung

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ zwischen affinen Räumen Bezi${\displaystyle (A,V_{A})}$ und ${\displaystyle (B,V_{B})}$ heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}}$ zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)}$

für alle Punkte ${\displaystyle P,Q\in A}$ gilt. Dabei bezeichnen ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}}$ die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

In dem wichtigen Anwendungsfall, dass ${\displaystyle A=V_{A}}$ und ${\displaystyle B=V_{B}}$ gilt, ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ bereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}}$ gibt mit

${\displaystyle f(P)=f(0)+\varphi (P)}$

für alle ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle A}$. In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eine Translation einer linearen Abbildung mit dem Bild ${\displaystyle f(0)}$ des Nullpunkts.

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen affinen Abbildung und linearen Gleichungssystemen ${\displaystyle A\cdot x=b}$ mit ${\displaystyle A\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$?

• affiner Raum

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• Affine Abbildung https://de.wikipedia.org/wiki/Affine%20Abbildung
• Datum: 20.6.2024
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