Affine Funktion

Die Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile

• Geradengleichung
• y-Achsenabschnitt und Steigung
• mehrdimensionaler Falle

Ziel dieser Lerneinheit ist es, den Begriff der affinen Funktionen zu erläutern und ihre Abgrenzung zu linearen Funktionen zu behandelt.

In dieser Lerneinheit werden wir uns mit affinen Funktionen beschäftigen und sie von linearen Funktionen abgrenzen. Beide Funktionstypen sind grundlegend in der Mathematik und haben viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Physik, Wirtschaft und Ingenieurwesen. Wenn man mit Daten der Form ${\displaystyle \mathbb {D} =\{(x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,i\{1,\ldots ,d\}\}}$ arbeitet, sucht man z.B. bei der linearen Regression ${\displaystyle f(x)=a\cdot x+b}$ nach den besten passend Parametern ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Streng genommen ist die lineare Regression eigentlich eine affine Regression.

Lineare Funktionen kann bzgl. des gewählten Definitions- und Wertebereiches unterscheiden. Zunächst betrachten wir den Fall eines eindimensionalen Definitionsbereiches in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form:

${\displaystyle f(x)=ax}$

wobei ${\displaystyle a}$ eine reelle Zahl ist, die als Steigung bezeichnet wird.

Für den eindimensionalen Fall werden die folgenden Eigenschaften behandelt.

Der Graph der lineare Funktionen gehen immer durch den Ursprung ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Die Steigung ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ gibt an, wie stark die Funktion pro Einheit auf der ${\displaystyle x}$-Achse ansteigt oder abfällt.

Die Funktion beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem.

Wenn man in Geogebra für die Steigung der Funktion eine Schieberegel einsetzt, erzeugt die Modifikation der Steigung eine Drehung der Geraden im Koordinatensystem um den Ursprung ${\displaystyle (0,0)}$.

In der Schule werden lineare Funktionen in der Sekundarstufe I als proportionale Funktionen bezeichnet.

${\displaystyle f(x)=2x}$

Diese Funktion hat eine Steigung von 2 und geht durch den Ursprung.

Eine affine Funktion ist eine Funktion der Form:

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

wobei ${\displaystyle a}$ die Steigung und ${\displaystyle b}$ der ${\displaystyle y}$-Achsenabschnitt ist.

Graph der affine Funktionen schneiden die ${\displaystyle y}$-Achse an der Stelle ${\displaystyle b}$. Der Schnittpunkt der Geraden im Koordinatensystem mit der ${\displaystyle y}$-Achse ist ${\displaystyle (0,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Die Steigung ${\displaystyle a}$ gibt an, wie stark die Funktion ${\displaystyle f}$ ansteigt oder abfällt.

Die Funktion beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem.

Wenn man in Geogebra für die Steigung der Funktion eine Schieberegel einsetzt, erzeugt die Modifikation der Steigung eine Drehung der Geraden im Koordinatensystem um den Punkt ${\displaystyle (0,b)}$.

In der Schule werden lineare Funktionen in der Sekundarstufe I als proportionale Funktionen bezeichnet, während linear Funktion in der Schule eigentlich affine Funktionen sind, die in der Regel nicht linear sind.

${\displaystyle f(x)=2x+3}$

Diese Funktion hat eine Steigung von 2 und schneidet die y-Achse bei 3.

• Affine Funktion sind lineare Funktionen, wenn diese den ${\displaystyle y}$-Achsenabschnitt ${\displaystyle b=0}$ besitzen.
• Wenn affine Funktionen haben einen y-Achsenabschnitt ${\displaystyle b\not =0}$, besitzen diese nicht die Eigenschaft der Linearität.

• Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktionen:

${\displaystyle f(x)=3x}$

${\displaystyle g(x)=4x+2}$

${\displaystyle h(x)=-x+5}$

• Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen in einem Koordinatensystem:

${\displaystyle f(x)=2x}$

${\displaystyle g(x)=2x+3}$

• Erkläre, warum die Funktion ${\displaystyle f(x)=0}$ sowohl eine lineare als auch eine affine Funktion ist.

Die obigen Aspekt für lineare und affine Funktionen kann man auf beliebige ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume auf einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ erweitern. Sei ${\displaystyle f:V\to W}$ eine lineare Abbildung von dem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ in den ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum ${\displaystyle W}$, dann ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f_{b}:&V&\rightarrow &W\\&x&\mapsto &f_{b}(v)=f(v)+b\end{array}}}$

für jedes ${\displaystyle b\in W}$ eine affine Abbildung.

• Erläutern Sie, warum Konvexkombinationen 1. Ordnung bei Erweiterung des Definitionsbereiches von ${\displaystyle [0,1]}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als eine affine Abbildung von ${\displaystyle V:=\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle W:=\mathbb {R} ^{2}}$ betrachtet werden können!.
• Erzeugen Sie affine Abbildung von dem Vektorraum der stetigen Funktionen auf den Vektorraum der stetigen Funktionen!

• Konvexkombination
• lineare Abbildung
• lineare Regression
• Geogebra
• Mehrdimensionale lineare Regression
• Kurs:Funktionalanalysis