Affiner Raum/Punktiert/Syzygienbündel/Beispiel

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

${\displaystyle K[X,Y,Z]\longrightarrow K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW),}$

die zugehörige Spektrumsabbildung

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}}$

sowie deren Einschränkung

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\supseteq D(X)\cup D(Y)\cup D(Z)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\setminus \{(0,0,0)\}=D(X)\cup D(Y)\cup D(Z).}$

Letzteres ist ein geometrisches Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle {}2}$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den ${\displaystyle {}D(X),D(Y),D(Z)}$ gegeben, vergleiche Beispiel. Beispielsweise ist

${\displaystyle {}{\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}_{X}\cong K[X,Y,Z]_{X}[V,W]\,,}$

da man

${\displaystyle {}U=-{\frac {YV+ZW}{X}}\,}$

ausdrücken kann.