Algebra/Algebraisch unabhängig/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ und sei ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A}$ eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Die Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ sind algebraisch unabhängig.
2. Der Einsetzungshomomorphismus

   ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A,\,X_{i}\longmapsto f_{i},}$

   ist injektiv.

3. Der Einsetzungshomomorphismus

   ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[f_{1},\ldots ,f_{n}],\,X_{i}\longmapsto f_{i},}$

   ist bijektiv.